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인공지능의 역사, 1970년대 인공지능 암흑기 기호주의와 연결주의 영화 이미테이션 게임은 제2차 세계대전 때 독일군이 사용한 '에니그마(Enigma)'라는 암호로 인해 연합군이 속수무책으로 당하게 되자 앨런 튜링이라는 사람이 해독을 위한 특별한 기계를 발명하고 이것을 활용해 독일군의 암호를 해독함으로써 연합군 승리에 기여했다는 내용입니다. 이 당시 앨런 튜링이 가졌던 하나의 생각이 인공지능의 발전에 큰 영향을 끼쳤습니다. Can machine think? 기계가 생각할 수 있을까? 앨런 튜링은 1950년에 「계산 기계와 지능」이라는 논문에서 튜링 테스트 제안합니다. 튜링 테스트란 인간 평가자가 따로 격리된 공간에서 컴퓨터 그리고 인간과 모니터 화면으로 각각 대화를 나눠 보면서 둘 중 어느 쪽이 컴퓨터인지 구별하지 못할 경우, 그 컴퓨터가 최소한 인간.. 2024. 2. 27.

공학적 도구(티처블머신)를 사용하여 인공지능 체험하기 티처블머신(Teachable Machine) 인공지능 체험할 수 있는 공학적 도구에는 머신러닝포키즈(Machine Learning for Kids), 오렌지3(Orange3), 티처블머신(Teachable Machine), 캐글(Kaggle) 등이 있습니다. 티처블머신은 구글에서 제공하는 인공지능 학습도구로, 누구나 기계학습 모델을 쉽고 빠르게 만들어볼 수 있는 웹 기반 도구입니다. 구글 검색창에 티처블머신이라고 적고 검색해 봅시다. 티처블머신은 학습도구로 별도의 로그인 없이 체험해 볼 수 있습니다. 우측 상단의 시작하기 버튼을 클릭합니다. 기본적으로 이미지, 오디오, 포즈를 분류할 수 있는 프로젝트가 제공되고 있습니다. 이미지 프로젝트를 선택하겠습니다. 새 이미지 프로젝트 창에서 표준 이미지 모델을 선.. 2024. 2. 26.

한국의 영재교육 한국 영재교육의 체계와 변화 인간재능의 발달영역이 다양한 것처럼 동일영역의 영재성도 그 심화의 정도나 수준에 있어서 차이가 있을 수 있습니다. 영재성은 단일 수준이 아니라 다층구조로 존재합니다. 가네 교수가 영재 출현율을 상위 10%로 상정하였다고 해서, 그 범위 내의 영재들이 단일 수준의 잠재력과 성취도를 나타내는 것은 아닙니다. 또래집단의 학습자들 가운데 상위 10% 수준의 재능을 나타낸 학습자들을 판별해 낼 수 있습니다. 상위 10% 수준의 영재학습자들 집단에서도 개인 간의 재능에 있어 뚜렷한 개인차를 목격할 수 있는 만큼 해당 집단에서 또 한 번의 상위 10% 수준의 영재들을 판별해 낼 수 있을 것입니다. 이렇게 수준화하여 생각할 때, 일반적으로 5가지 수준의 영재성을 구분하여 설명할 수 있습니다.. 2024. 2. 26.

인공지능과 빅데이터 인공지능? '인공지능'하면 가장 먼저 떠오르는 것은 무엇인가요? 무인으로 운행되는 자율주행자동차, 인공지능 바둑프로그램인 알파고를 떠올리셨나요? 우리의 삶과 약간 동떨어진 최첨단 기술을 떠올리셨군요. 하지만 우리는 이미 일상생활에서 다양한 인공지능을 활용하고 있습니다. 핸드폰 카메라로 사진을 찍을 때 피사체를 자동으로 감지하고 필터를 보정해 주는 것 예전 구매한 쇼핑 목록을 통해 다른 상품을 추천해 주는 것 스팸메일을 자동으로 분류해주는 것 우리의 일상생활 속에서 사용하고 있는 여러 기술에 이미 인공지능이 활용되고 있습니다. 인공지능의 개념과 기계학습의 학습방식 인공지능, 기계학습, 딥러닝은 서로 간에 포함관계를 가지고 있습니다. 인공지능이라는 전체집합 안에 기계학습이 포함되고, 기계학습 안에 딥러닝이 .. 2024. 2. 26.

수학 사고력 깨우기-생각의 전환 붕어빵 사먹는데 수학이 필요해? 수학을 배워서 어디에 쓰나요? 수학을 가르치는 선생님이면 한 번쯤 만나게 되는 질문입니다. 그러나 이는 수학을 잘 모르기 때문에 하는 생각입니다. 수학교육의 목적은 생활에 필요한 것을 가르치는 데 국한되어 있지 않습니다. 수학이 논리적인 사고력을 키워주어 일상의 여러 가지 문제를 해결하는데 도움을 준다고 말하면서도, 실제로는 현실에 적용하는 수학이 아니라 문제를 풀고 개념을 외우는 수학에 자주 머물러 있는 것이 사실입니다. 우리 학생들에게는 수학 덕분에 편리한 생활을 할 수 있게 되었음을 확인하는 경험이 자주 필요합니다. 암호 만들기와 소수 정보화 사회로의 발전 속도에 비례하여 대두되고 있는 개인정보보호에 필요한 암호와 소수(prime number)를 연결지어 수학이 현대.. 2024. 2. 25.

<인공지능 수학>의 개관 교육과정의 개발 배경 및 필요성 1. 교육과정의 개발 배경 과거 산업화 과정에서 기계가 인간의 육체노동을 대체했다면, 이제는 인공지능이 인간의 지적노동을 수행하는 수준으로 발전하였습니다. 인공지능은 단순한 기술적 차원을 넘어 인문·사회 등 모든 영역의 패러다임 변화를 초래하므로 국가 사회 전반의 준비가 필요합니다. 이와 같은 상황에서 해외 주요 국가들은 AI가 미래사회의 핵심이 될 것이라는 예측 하에 AI 인재 육성 및 시민의 AI 소양 함양을 목적으로 자국의 초중등 교육과정에 AI 관련 내용을 포함하는 교육정책을 이미 실행하거나 실시하려고 준비하고 있습니다. 이러한 국제사회의 변화에 발맞추어 우리나라도 2019년 [인공지능 국가 전략]을 발표하였습니다. 국가 전략의 두 번째 추진과제로 AI를 가장 잘 .. 2024. 2. 24.

비유클리드 기하학의 가능성 오래된 고집, 유클리드 기하학 유클리드 기하학 이와의 기하학이 존재할 수 있다는 사실, 즉 유클리드 기하학의 공리들과 근본적으로 다른 공리들을 구성하고 정리들을 증명할 수 있다는 사실은 그 자체로도 놀라운 발견입니다. 그리하여 기하학의 개념은 더욱더 넓어졌습니다. 하지만 이 새로운 기하학의 존재자체로 인해 수학자들은 심오하고 혼란스러운 의문에 사로잡혔습니다. 이 의문은 가우스가 일찌감치 가졌던 것입니다. 이런 새로운 기하학들 가운데 어느 하라라도 실제 문제에 적용할 수 있는가? 공리와 정리들이 물리적 공간을 설명하는데 타당할 수 있는지 그리고 심지어 유클리드 기하학보다 더 정확할 수 있는가? 언뜻 보기에 이런 이상한 기하학들 중 어느 것이든 유클리드 기하학을 대체할 수 있으리라는 발상은 터무니없어 보였습.. 2024. 2. 6.

비유클리드 기하학의 탄생 유클리드 기하학의 역사적 배경 유클리드 기하학은 산수, 대수 및 미적분과 같은 분야와 마찬가지로 공리를 바탕으로 발전했습니다. 유클리드 기하학의 공리들을 체계화시킨 고대 그리스인들은 인간의 마음이 물리적 대상과 공간에 대한 기하학적 속성들에 관한 어떤 진리들을 즉각적으로 인식한다고 믿었습니다. 2000년 동안 사람들은 유클리드 기하학 및 수학 일반의 공리들이 물리적 세계에 관한 진리이며 너무나 확실하고 자명한 진리여서 그 누구도 의심할 수 없다고 생각했다. 유클리드 기하학에서 한 평면의 두 직선은 서로 만나지 않으면 평행합니다. 이 명재는 평행선이 존재한다고 주장하지는 않습니다. 하지만 유클리드 기하학에서 평행선의 존재를 암시하는 한 공리가 있습니다. 유클리드가 말한 바에 따르면, 이 공리는 다음과 같습.. 2024. 2. 5.

곡선 운동을 이해하려면? 매개변수 방정식 과학 문제를 다루는 수학적 과정, 함수 낙하 물체가 얻는 가속도와 속력과 이동 거리를 각각의 물리적 양에 대해 하나의 식을 사용하여 표현할 수 있습니다. 이는 직선 경로에 따른 운동의 연구입니다. 곡선 경로를 따르는 운동, 가령 날아가는 비행기에서 낙하한 물체의 운동이나 대포에서 발사된 발사체의 운동에 대해 기본 원리를 간파한 사람은 갈릴레오 갈릴레이입니다. 갈릴레오는 직선상의 운동을 다루었던 책인 「두 가지 새로운 과학에 관한 대화」에서 이 운동의 개념과 이를 수학적으로 어떻게 다룰지를 소개하고 있습니다. 곡선 운동을 조사하는 갈릴레오의 목적은 대포알 또는 발사체의 운동을 연구하는 것이었습니다. 14세기에 발명된 대포는 갈릴레오 시대에는 성능이 매우 향상되어서 아주 먼 거리까지 날릴 수 있었습니다. 하.. 2024. 2. 5.

게임과 수학 2탄 마스터마인드(Mastermind) 마스터마인드(Mastermind)는 이스라엘의 우체국장이자 전기 통신 전무누가인 모르데카이 마이로비츠가 1970년에 발명한 보드 게임입니다. 마스터마인드는 일종의 암호 해독 게임입니다. 모르데카이 마이로비츠(Mordecai Meirowitz)가 발명한 이 게임은 1970년대 나와 큰 성공을 이뤘습니다. 게임 플레이어는 2명 이상으로 암호를 만드는 사람 1명과 1인이상의 암호를 해독하는 사람으로 나누어집니다. 암호 제작자가 여섯 가지 색깔 중에서 네 가지로 색으로 조합된 비밀코드를 만들어 한 줄로 놓습니다. 당연히 암호를 해독하는 사람은 조합된 것을 알 수 없습니다. 암호 해독자는 이 비밀코드를 가능한 적은 횟수로 추측해서 맞혀야 합니다. 암호 제작자는 색깔과 자리가 맞는.. 2024. 2. 5.

게임과 수학 1탄 TTT(Tic-Tac-Toe)게임 틱택토(Tic-Tac-Toe, TTT) 게임은 인류 역사상 가장 널리 알려지고 가장 오래된 게임입니다. 이 게임이 현대와 같은 규칙을 갖게 된 시기는 비교적 최근이지만, 고고학자들은 기원전 1300년경의 고대 이집트로 거슬러 올라가 '3개로 1줄 만들기 게임' 비슷한 것을 그 기원으로 제시합니다. 비슷한 종류의 게임들이 이미 인류 문명 여명기부터 존재하지 않았을까요? 틱택토 게임은 3x3판에서 하는 틱택토 게임은 언제든지 무승부로 끝날 가능성 있습니다. 무조건 무승부를 말들 수 있다는 점은 플롯상의 주요 요소로 활용되어 1983년 영화 워게임에 등장합니다. 그 유명한 "이기는 유일한 방법은 처음부터 하지 않는 것이다."라는 대사가 이 영화에서 비롯되었습니다. 또한 컴퓨터.. 2024. 2. 5.

다면체의 신비 2탄 지오데식 돔 리처드 버크민스터 '버키' 풀러(Richard Buckminster 'Bucky' Fuller)는 지치지 않는 몽상가입니다. 그는 지오데식 돔의 공기 저항이 낮아서 허리케인으로부터 피해를 덜 입는다는 생각에 지오데식 돔 안에서 살기도 했습니다. 그는 뉴욕시에 지름이 3.2킬로미터이고 가운데 높이가 1.6킬로미터인 지오데식 돔을 세우는 야심찬 계획을 세우기도 했습니다. 그 이유는 뉴욕 시민들이 비와 눈과 바람으로부터 피할 수 있도록 하기 위해서입니다. 지오데식 돔(Geodesic Dome)은 플라톤 입체를 비롯한 여러 다면체들의 면을 삼각형화하고, 그 입체의 전체 모양을 구나 반구에 가까워지도록 한 입체를 말합니다. 지오데식 돔은 여러 가지 방식으로 만들 수 있습니다. 그 한 가지 예로 12개.. 2024. 2. 3.

다면체의 신비 1탄 플라톤의 입체, 정다면체(Regular Polyhedron) 플라톤의 입체란 여러 면을 가진 3차원 입체를 말합니다. 이때, 모든 면이 합동인 정다각형으로 되어 있으며, 각 꼭짓점에 모인 모서리의 수가 모두 같아야 합니다. 우리가 일반적으로 잘 알고 있는 것이 주사위 모양의 정육면체입니다. 정육면체는 합동인 정사각형 6개로 둘러싸인 입체도형입니다. 고대 그리스인들은 플라톤의 입체는 오로지 다섯 개뿐임을 알고 그 사실을 증명했습니다. 다섯 개의 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체입니다. 정다면체(볼록 정다면체)는 5개뿐임을 다음과 같이 증명할 수 있습니다. ▶ 다면체에서 하나의 꼭짓점이 만들어지기 위해서는 최소한 세 개의 면이 만나야 합니다. ▶ 각 꼭지각의 합은 360˚보다.. 2024. 2. 2.

침착하고 말이 없던 소년, 뉴턴 1665년~1666년, 창조적 휴가 1642년 태어난 뉴턴은 갓난아기 때부터 미숙하고 허약했습니다. 아버지는 뉴턴이 태어나기 두 달 전에 세상을 떠났고, 어머니는 혼자 농장을 운영하느라 바빴기에 그를 다른 사람에게 맡겼습니다. 뉴턴은 아주 평범한 시골 학교에서 공부했으며, 특별한 재능을 보이지 않았습니다. 그래도 가족의 지원으로 1661년에 케임브리지 대학에 가서 트리니티 칼리지에 입학했습니다. 여기서 마침내 뉴턴은 코페르니쿠스, 케플러 및 갈릴레오의 저작들을 연구할 기회를 얻게 됩니다. 뉴턴은 대학 성적이 뛰어나지 않았는데, 특히 기하하학에 어려움을 느껴서 전공을 과학에서 법학으로 바꾸려고 했습니다. 하지만 한 명의 훌륭한 스승을 만났는데 그 사람이 바로 아이작 배로우(Isaac Barrow)입니다. .. 2024. 2. 2.

수학교수 갈릴레오는 왜 과학자인가? 갈릴레오의 과학적 방법 갈릴레오는 1564년 미켈란젤로가 죽던 날 이탈리아의 피사에서 태어났습니다. 피사의 대학에 입학해 의학을 공부했고 또한 수학을 개인교습을 배웠는데, 이 학문에 매우 끌려서 수학을 직업으로 삼기로 결심합니다. 23세의 나이에 볼로냐 대학의 교수직을 신청했지만 거절당하고, 피사 대학에서 수학 교수직을 제안받고 수락했습니다. 갈릴레오는 아리스토텔레스 과학을 공격한 인물들 중 한 명이었는데 설령 동료들이 멀리하더라도 주저 없이 자신의 비판적 견해를 펼쳤습니다. 그는 1592년 피사 대학을 떠나 파두아 대학에서 수학 교수직을 맡게 됩니다. 파두아 대학에서 18년 동안 머문 후에는 대공 코시모 데 미디치 2세의 초청으로 피렌체로 갑니다. 피렌체에서 갈릴레오는 여유를 갖고 연구와 저술에 몰두하.. 2024. 2. 2.

기하학이 예술과 결합하니, 더욱 거부할 수가 없네 수학적 원근법의 기본 개념 유럽 르네상스 시기의 화가들이 회화의 새로운 양식을 마련하기 위해 수학에 관심을 보였다는 사실은 조금 놀랍지만, 이 현상에는 나름의 이유가 있습니다. 14~16세기 화가들은 당대의 건축가이자 공학자였습니다. 그들은 또한 조각가, 발명가, 대장장이 그리고 석공이기도 했습니다. 그들은 교회, 궁전, 다리, 댐, 도시 성벽 및 무기를 설계하고 제작하기도 했습니다. 이런 다양한 활동에 비추어 볼 때 화가는 필연적으로 얼마만큼은 과학자일 수밖에 없었습니다. 르네상스 화가들이 어떻게 수학을 도입하여 회화 기법을 혁신시켰을까요? 14세기 후반부에는 발전이 별로 없었습니다. 왜냐하면 흑사병이 유럽 전역을 뒤흔들어 수많은 사람들이 죽었기 때문입니다. 15세기 화가들은 수학이 실제 세계의 본질이.. 2024. 2. 2.

파스칼은 천재? , 정신이상자? 파스칼의 삼각형(Pascal's Triangle) 파스칼은 일생동안 훌륭한 작가이며 철학자이자 수학자였습니다. 그러나 종교를 우위에 두었기 때문에 벨(E. T. Bell)과 같은 역사학자는 그를 정신이상자라고 주장하면서 「수학을 만든 사람들」(Men of Mathematics)에서 다음과 같이 쓰고 있습니다. 우리는 주로 파스칼을 매우 천부적인 수학자라고 여긴다. 그런데 그는 고행을 위한 가학적 기질과 그 시대의 종교 파벌과의 논쟁에 대한 무익한 고찰로 인해 결국 소위 종교적인 노이로제 환자로 추락하고 말았다. 그리고 몇 페이지 뒤에서 벨은 다음과 같이 애도하였습니다. 만일 그의 천성이 신의 속박에서 헤어나 스스로 할 수 있는 인간이 될 수 있었다면, 인간의 곤궁과 종엄에 대한 평범한 관찰이나 의미 없는.. 2024. 2. 1.

기하학에 새로운 방법, 데카르트의 좌표기하학 데카르트의 삶 데카르트(Rene Descartes)는 태어나자마자 어머니를 잃었습니다. 경제적으로 안정된 가정에서 자라 라 플레슈 예수회 대학에서 공식적이고 전통적인 훌륭한 교육을 받았지만 건강이 좋지 않았습니다. 데카르트는 학창 생활 중에도 교사를 포함해 이미 당대의 많은 사람들이 공언하는 진리에 비판적이었으며 자신이 배우는 지식에 의문을 품었다고 합니다. 당시 사회는 천 년 동안 유럽을 지배한 세계관이 맹렬하게 도전을 받던 시기였기에, 데카르트는 교사들 및 다른 지도자들이 강압적이고 독단적으로 선언한 가르침에 만족할 수 없었습니다. 데카르트는 자신이 유럽의 최고 명문 학교에 다니며 결코 열등한 학생이 아니라고 자부했던 터라, 더욱더 자신의 의심이 정당하다고 여겼습니다. 그는 자신이 받은 교육은 인간의.. 2024. 2. 1.

새로운 계산 도구, 로그 로그는 큰 수의 곱셈을 편리하게 하기 위해 발명되었다 네이피어(J. Napier)는 로그를 구성하는 데 20여 년 이상의 시간 동안 매달린 스코틀랜드의 남작이었습니다. 수학, 신학, 점성술을 좋아하였는데, 특히 신학에서는 슈티펠*(Michael Stifel)처럼 교황이 반 기독교인이라는 사실을 증명하는데 관심이 있었으며, 「성 요한 묵시록 전체에서의 소박한 발견」(A Plaine Discovery of Whole Revelation of St. John)이라는 책을 출판하였습니다. 네이피어가 발견한 것 중에는 1700년 이전에 세상의 종말이 올 것이라는 부분도 있습니다. * 슈티펠(Michael Stifel)은 독일의 수학자로 처음에는 수도원에 들어갔으나 마르틴 루터의 종교 개혁에 자극을 받아 수도원을 .. 2024. 2. 1.

위대한 술법(Ars Magna)이 현대대수학의 탄생에 끼친 영향 카르다노의 감사의 글 카르다노의 위대한 술법이라는 저서를 통하여 이 저서가 현대대수학의 발전에서 담당했던 중요한 역할은 무엇이었을까요? 그리고 카르다노가현대대수학의 발전에 있어서 핵심적인 인물로 인식되고 있는 이유는 무엇일까요? 다음은 감사의 글입니다. 카르다노는 자신이 어떻게 해서 방정식 의 해법과 페라리의 결과를 알게 되었는지를 숨기지 않고 솔직하게 밝히고 있습니다. 그의 말을 아래에 인용합니다. 오늘날 볼로냐의 페로는 삼차항과 일차항의 합이 상수와 같은 형태의 방정식의 해법을 찾아냈는데 이는 대단히 우아하고 존경할 만한 성취이다. 이 해법은 모든 사람들의 정교함과 정신적인 재능의 명쾌함을 뛰어넘고 천부적인 재능과 인간의 정신의 능력을 명백히 테스트하는 것이어서 그 문제에 도전했던 사람은 누구나 자신.. 2024. 2. 1.

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