다면체의 신비 2탄

지오데식 돔

리처드 버크민스터 '버키' 풀러(Richard Buckminster 'Bucky' Fuller)는 지치지 않는 몽상가입니다. 그는 지오데식 돔의 공기 저항이 낮아서 허리케인으로부터 피해를 덜 입는다는 생각에 지오데식 돔 안에서 살기도 했습니다. 그는 뉴욕시에 지름이 3.2킬로미터이고 가운데 높이가 1.6킬로미터인 지오데식 돔을 세우는 야심찬 계획을 세우기도 했습니다. 그 이유는 뉴욕 시민들이 비와 눈과 바람으로부터 피할 수 있도록 하기 위해서입니다. 

지오데식 돔

 

지오데식 돔(Geodesic Dome)은 플라톤 입체를 비롯한 여러 다면체들의 면을 삼각형화하고, 그 입체의 전체 모양을 구나 반구에 가까워지도록 한 입체를 말합니다. 지오데식 돔은 여러 가지 방식으로 만들 수 있습니다. 그 한 가지 예로 12개의 정오각형으로 이루어진 정십이면체에서 출발하는 것입니다. 각 정오각형의 중심에 점을 찍고, 그 점과 정오각형의 각 꼭짓점을 각각 연결합니다. 이제 이 점을 집어 올려서 정십이면체에 외접하는 상상의 구에 연결합니다. 이제 여러분은 삼각형 면 60개를 가진 새로운 다면체를 만들어 낸 것입니다. 이것은 지오데식 돔의 가장 단순한 모형 중 하나입니다. 돔을 구에 더 가깝게 만들려면 다면체의 면들을 더 작은 삼각형들로 나누면 됩니다. 삼각형 면은 건물의 하중을 구조 전체로 분배하여 매우 견고하고 튼튼합니다.

최초의 지오데식 돔은 1922년 독일의 공학자인 발터 바우어스펠트(Walther Bauersfeld)가 독일 튀링겐 주 예나 시의 천체 투영관을 위해 만들었습니다. 1940년대 말에는 미국 건축가인 리처드 버크민스터 풀러가 독립적으로 지오데식 돔을 발명했고 그 디자인으로 미국 내 특허를 땄습니다. 미국 육군은 이 건축물로부터 깊은 인상을 받아 풀러에게 군사용 돔들을 설계하고 감독하는 일을 맡겼습니다. 지오데식 돔은 견고하고 튼튼한 구조 말고도 장점이 있습니다. 표면의 넓이를 최소화하면서 그 내부의 부피를 크게 만들 수 있습니다. 그래서 건축하는데 자재를 효율적으로 줄일 수 있고, 열손실도 줄일 수 있는 장점이 있습니다.

 

차사르 다면체

차사르 아코스는 일반 위상수학과 실제 분석을 전문으로 하는 헝가리 수학자입니다. 차사르 다면체는 차사르 아코스가 1949년에 처음 설명했습니다. 다면체(Polyhedron)는 다각형들을 면으로 하는 입체도형입니다. 그럼 한 다면체에서 각 꼭짓점들도 모두 모서리로 연결되는 다면체는 몇 개나 될까요? 먼저 사면체를 생각할 수 있습니다. 사면체는 꼭짓점이 4개, 모서리가 6개, 면이 4개, 그리고 대각선* 0개로 이루어져 있습니다. 한 모서리가 모든 꼭짓점 쌍을 연결합니다. 그러나 사면체를 제외하고 나면 차사르 다면체 말고는 없습니다. 모서리 말고 다각형의 두 꼭짓점들을 잇는 하나의 선을 대각선이라고 할 때, 대각선이 없다고 여겨지는 다면체는 사면체와 차사르 다면체뿐입니다. 차사르 다면체는 눈앞에 떠올려 보기가 쉽지 않습니다. 차사르 다면체는 구멍이 1개 있고-위상 수학적으로 토러스(도넛)와 동일한 구조-꼭짓점 7개와 면 14개, 모서리 21개로 이루어져 있으며 2중 스칠라시 다면체(dual polyhedron)입니다.

*차사르 대면체에서는 변으로 연결되지 않는 두 꼭짓점을 잇는 선분을 대각선이라고 정의했을 때, 사면체를 제외하면 차사르 다면체는 대각선이 없는 유일한 다면체이다.

 

스칠라시 다면체

스칠라시 다면체(Szilassi Polyhedron)는 헝가리 수학자 스칠라시 러호시가 1977년에 발견했습니다. 이 다면체는 칠면체로 합동인 오목육각형 세 쌍과 볼록육각형 1개로 구성된 7개의 면과 꼭짓점 14개, 모서리 21개, 그리고 구멍 1개로 이루어져 있습니다. 만약 우리가 스칠라시 다각형의 표면을 펴서 모서리가 덜 두드러지게 만든다면 우상 수학적으로 토러스(도넛)과 같은 구조입니다. 이 다면체는 180도 대칭 축을 가지고 있습니다.

스칠라시 다면체는 지도 색칠 문제에 대한 통찰을 제공하기도 합니다. 전통적인 지도에서 인접한 두 지역이 같은 색으로 칠해지지 않으려면 최소한 4가지 색깔이 필요합니다.(4색문제) 토러스 표면에 그려진 지도의 경우에는 7가지 색깔이 필요합니다. 이것은 스칠라시 다면체의 경우에도 마찬가지입니다. 

출처> 매스프레소 MathPresso

 

구멍 다면체(Holyhedron)

구멍 다면체(Holyhedron)는 각 면에 다각형 모양의 구멍이 적어도 하나씩은 있는 다면체입니다. 그 구멍들의 경계선들은 서로와 혹은 그 면의 다른 변들과 전혀 접점이 없습니다. 예를 들어 면이 6개인 정육면체를 생각해 봅시다. 다음으로 그 정육면체에 오각형 터널을 만들기 위해 한 면에서 맞은편 면까지 오각형 기둥을 밀어 넣어 통과시킵니다. 이 중간 단계에서 우리는 면 11개를 가진 입체를 얻을 수 있습니다. 그 11개의 면 중 구멍이 난 것은 2개의 면뿐입니다. 이렇게 매번 구멍을 뚫을 때마다 더 많은 면들이 만들어집니다. 구멍 다면체는 찾는 데 어려운 것은 구멍이 하나도 없는 면들의 수를 줄이기 위해 결국 한 번에 두 개 이상의 면을 뚫고 들어가는 구멍을 만드는 것입니다. 

프린스턴 수학자인 존 콘웨이는 1990년대에 처음으로 구멍 다면체 개념을 도입했습니다. 1997년에 데이비드 윌슨이 구멍으로 채워진 다면체를 가리키기 위해 '구멍 다면체'라는 단어를 만들어 냈습니다. ■