사소한 수학20 비유클리드 기하학의 가능성 오래된 고집, 유클리드 기하학 유클리드 기하학 이와의 기하학이 존재할 수 있다는 사실, 즉 유클리드 기하학의 공리들과 근본적으로 다른 공리들을 구성하고 정리들을 증명할 수 있다는 사실은 그 자체로도 놀라운 발견입니다. 그리하여 기하학의 개념은 더욱더 넓어졌습니다. 하지만 이 새로운 기하학의 존재자체로 인해 수학자들은 심오하고 혼란스러운 의문에 사로잡혔습니다. 이 의문은 가우스가 일찌감치 가졌던 것입니다. 이런 새로운 기하학들 가운데 어느 하라라도 실제 문제에 적용할 수 있는가? 공리와 정리들이 물리적 공간을 설명하는데 타당할 수 있는지 그리고 심지어 유클리드 기하학보다 더 정확할 수 있는가? 언뜻 보기에 이런 이상한 기하학들 중 어느 것이든 유클리드 기하학을 대체할 수 있으리라는 발상은 터무니없어 보였습.. 2024. 2. 6. 비유클리드 기하학의 탄생 유클리드 기하학의 역사적 배경 유클리드 기하학은 산수, 대수 및 미적분과 같은 분야와 마찬가지로 공리를 바탕으로 발전했습니다. 유클리드 기하학의 공리들을 체계화시킨 고대 그리스인들은 인간의 마음이 물리적 대상과 공간에 대한 기하학적 속성들에 관한 어떤 진리들을 즉각적으로 인식한다고 믿었습니다. 2000년 동안 사람들은 유클리드 기하학 및 수학 일반의 공리들이 물리적 세계에 관한 진리이며 너무나 확실하고 자명한 진리여서 그 누구도 의심할 수 없다고 생각했다. 유클리드 기하학에서 한 평면의 두 직선은 서로 만나지 않으면 평행합니다. 이 명재는 평행선이 존재한다고 주장하지는 않습니다. 하지만 유클리드 기하학에서 평행선의 존재를 암시하는 한 공리가 있습니다. 유클리드가 말한 바에 따르면, 이 공리는 다음과 같습.. 2024. 2. 5. 곡선 운동을 이해하려면? 매개변수 방정식 과학 문제를 다루는 수학적 과정, 함수 낙하 물체가 얻는 가속도와 속력과 이동 거리를 각각의 물리적 양에 대해 하나의 식을 사용하여 표현할 수 있습니다. 이는 직선 경로에 따른 운동의 연구입니다. 곡선 경로를 따르는 운동, 가령 날아가는 비행기에서 낙하한 물체의 운동이나 대포에서 발사된 발사체의 운동에 대해 기본 원리를 간파한 사람은 갈릴레오 갈릴레이입니다. 갈릴레오는 직선상의 운동을 다루었던 책인 「두 가지 새로운 과학에 관한 대화」에서 이 운동의 개념과 이를 수학적으로 어떻게 다룰지를 소개하고 있습니다. 곡선 운동을 조사하는 갈릴레오의 목적은 대포알 또는 발사체의 운동을 연구하는 것이었습니다. 14세기에 발명된 대포는 갈릴레오 시대에는 성능이 매우 향상되어서 아주 먼 거리까지 날릴 수 있었습니다. 하.. 2024. 2. 5. 게임과 수학 2탄 마스터마인드(Mastermind) 마스터마인드(Mastermind)는 이스라엘의 우체국장이자 전기 통신 전무누가인 모르데카이 마이로비츠가 1970년에 발명한 보드 게임입니다. 마스터마인드는 일종의 암호 해독 게임입니다. 모르데카이 마이로비츠(Mordecai Meirowitz)가 발명한 이 게임은 1970년대 나와 큰 성공을 이뤘습니다. 게임 플레이어는 2명 이상으로 암호를 만드는 사람 1명과 1인이상의 암호를 해독하는 사람으로 나누어집니다. 암호 제작자가 여섯 가지 색깔 중에서 네 가지로 색으로 조합된 비밀코드를 만들어 한 줄로 놓습니다. 당연히 암호를 해독하는 사람은 조합된 것을 알 수 없습니다. 암호 해독자는 이 비밀코드를 가능한 적은 횟수로 추측해서 맞혀야 합니다. 암호 제작자는 색깔과 자리가 맞는.. 2024. 2. 5. 게임과 수학 1탄 TTT(Tic-Tac-Toe)게임 틱택토(Tic-Tac-Toe, TTT) 게임은 인류 역사상 가장 널리 알려지고 가장 오래된 게임입니다. 이 게임이 현대와 같은 규칙을 갖게 된 시기는 비교적 최근이지만, 고고학자들은 기원전 1300년경의 고대 이집트로 거슬러 올라가 '3개로 1줄 만들기 게임' 비슷한 것을 그 기원으로 제시합니다. 비슷한 종류의 게임들이 이미 인류 문명 여명기부터 존재하지 않았을까요? 틱택토 게임은 3x3판에서 하는 틱택토 게임은 언제든지 무승부로 끝날 가능성 있습니다. 무조건 무승부를 말들 수 있다는 점은 플롯상의 주요 요소로 활용되어 1983년 영화 워게임에 등장합니다. 그 유명한 "이기는 유일한 방법은 처음부터 하지 않는 것이다."라는 대사가 이 영화에서 비롯되었습니다. 또한 컴퓨터.. 2024. 2. 5. 다면체의 신비 2탄 지오데식 돔 리처드 버크민스터 '버키' 풀러(Richard Buckminster 'Bucky' Fuller)는 지치지 않는 몽상가입니다. 그는 지오데식 돔의 공기 저항이 낮아서 허리케인으로부터 피해를 덜 입는다는 생각에 지오데식 돔 안에서 살기도 했습니다. 그는 뉴욕시에 지름이 3.2킬로미터이고 가운데 높이가 1.6킬로미터인 지오데식 돔을 세우는 야심찬 계획을 세우기도 했습니다. 그 이유는 뉴욕 시민들이 비와 눈과 바람으로부터 피할 수 있도록 하기 위해서입니다. 지오데식 돔(Geodesic Dome)은 플라톤 입체를 비롯한 여러 다면체들의 면을 삼각형화하고, 그 입체의 전체 모양을 구나 반구에 가까워지도록 한 입체를 말합니다. 지오데식 돔은 여러 가지 방식으로 만들 수 있습니다. 그 한 가지 예로 12개.. 2024. 2. 3. 다면체의 신비 1탄 플라톤의 입체, 정다면체(Regular Polyhedron) 플라톤의 입체란 여러 면을 가진 3차원 입체를 말합니다. 이때, 모든 면이 합동인 정다각형으로 되어 있으며, 각 꼭짓점에 모인 모서리의 수가 모두 같아야 합니다. 우리가 일반적으로 잘 알고 있는 것이 주사위 모양의 정육면체입니다. 정육면체는 합동인 정사각형 6개로 둘러싸인 입체도형입니다. 고대 그리스인들은 플라톤의 입체는 오로지 다섯 개뿐임을 알고 그 사실을 증명했습니다. 다섯 개의 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체입니다. 정다면체(볼록 정다면체)는 5개뿐임을 다음과 같이 증명할 수 있습니다. ▶ 다면체에서 하나의 꼭짓점이 만들어지기 위해서는 최소한 세 개의 면이 만나야 합니다. ▶ 각 꼭지각의 합은 360˚보다.. 2024. 2. 2. 침착하고 말이 없던 소년, 뉴턴 1665년~1666년, 창조적 휴가 1642년 태어난 뉴턴은 갓난아기 때부터 미숙하고 허약했습니다. 아버지는 뉴턴이 태어나기 두 달 전에 세상을 떠났고, 어머니는 혼자 농장을 운영하느라 바빴기에 그를 다른 사람에게 맡겼습니다. 뉴턴은 아주 평범한 시골 학교에서 공부했으며, 특별한 재능을 보이지 않았습니다. 그래도 가족의 지원으로 1661년에 케임브리지 대학에 가서 트리니티 칼리지에 입학했습니다. 여기서 마침내 뉴턴은 코페르니쿠스, 케플러 및 갈릴레오의 저작들을 연구할 기회를 얻게 됩니다. 뉴턴은 대학 성적이 뛰어나지 않았는데, 특히 기하하학에 어려움을 느껴서 전공을 과학에서 법학으로 바꾸려고 했습니다. 하지만 한 명의 훌륭한 스승을 만났는데 그 사람이 바로 아이작 배로우(Isaac Barrow)입니다. .. 2024. 2. 2. 수학교수 갈릴레오는 왜 과학자인가? 갈릴레오의 과학적 방법 갈릴레오는 1564년 미켈란젤로가 죽던 날 이탈리아의 피사에서 태어났습니다. 피사의 대학에 입학해 의학을 공부했고 또한 수학을 개인교습을 배웠는데, 이 학문에 매우 끌려서 수학을 직업으로 삼기로 결심합니다. 23세의 나이에 볼로냐 대학의 교수직을 신청했지만 거절당하고, 피사 대학에서 수학 교수직을 제안받고 수락했습니다. 갈릴레오는 아리스토텔레스 과학을 공격한 인물들 중 한 명이었는데 설령 동료들이 멀리하더라도 주저 없이 자신의 비판적 견해를 펼쳤습니다. 그는 1592년 피사 대학을 떠나 파두아 대학에서 수학 교수직을 맡게 됩니다. 파두아 대학에서 18년 동안 머문 후에는 대공 코시모 데 미디치 2세의 초청으로 피렌체로 갑니다. 피렌체에서 갈릴레오는 여유를 갖고 연구와 저술에 몰두하.. 2024. 2. 2. 기하학이 예술과 결합하니, 더욱 거부할 수가 없네 수학적 원근법의 기본 개념 유럽 르네상스 시기의 화가들이 회화의 새로운 양식을 마련하기 위해 수학에 관심을 보였다는 사실은 조금 놀랍지만, 이 현상에는 나름의 이유가 있습니다. 14~16세기 화가들은 당대의 건축가이자 공학자였습니다. 그들은 또한 조각가, 발명가, 대장장이 그리고 석공이기도 했습니다. 그들은 교회, 궁전, 다리, 댐, 도시 성벽 및 무기를 설계하고 제작하기도 했습니다. 이런 다양한 활동에 비추어 볼 때 화가는 필연적으로 얼마만큼은 과학자일 수밖에 없었습니다. 르네상스 화가들이 어떻게 수학을 도입하여 회화 기법을 혁신시켰을까요? 14세기 후반부에는 발전이 별로 없었습니다. 왜냐하면 흑사병이 유럽 전역을 뒤흔들어 수많은 사람들이 죽었기 때문입니다. 15세기 화가들은 수학이 실제 세계의 본질이.. 2024. 2. 2. 파스칼은 천재? , 정신이상자? 파스칼의 삼각형(Pascal's Triangle) 파스칼은 일생동안 훌륭한 작가이며 철학자이자 수학자였습니다. 그러나 종교를 우위에 두었기 때문에 벨(E. T. Bell)과 같은 역사학자는 그를 정신이상자라고 주장하면서 「수학을 만든 사람들」(Men of Mathematics)에서 다음과 같이 쓰고 있습니다. 우리는 주로 파스칼을 매우 천부적인 수학자라고 여긴다. 그런데 그는 고행을 위한 가학적 기질과 그 시대의 종교 파벌과의 논쟁에 대한 무익한 고찰로 인해 결국 소위 종교적인 노이로제 환자로 추락하고 말았다. 그리고 몇 페이지 뒤에서 벨은 다음과 같이 애도하였습니다. 만일 그의 천성이 신의 속박에서 헤어나 스스로 할 수 있는 인간이 될 수 있었다면, 인간의 곤궁과 종엄에 대한 평범한 관찰이나 의미 없는.. 2024. 2. 1. 기하학에 새로운 방법, 데카르트의 좌표기하학 데카르트의 삶 데카르트(Rene Descartes)는 태어나자마자 어머니를 잃었습니다. 경제적으로 안정된 가정에서 자라 라 플레슈 예수회 대학에서 공식적이고 전통적인 훌륭한 교육을 받았지만 건강이 좋지 않았습니다. 데카르트는 학창 생활 중에도 교사를 포함해 이미 당대의 많은 사람들이 공언하는 진리에 비판적이었으며 자신이 배우는 지식에 의문을 품었다고 합니다. 당시 사회는 천 년 동안 유럽을 지배한 세계관이 맹렬하게 도전을 받던 시기였기에, 데카르트는 교사들 및 다른 지도자들이 강압적이고 독단적으로 선언한 가르침에 만족할 수 없었습니다. 데카르트는 자신이 유럽의 최고 명문 학교에 다니며 결코 열등한 학생이 아니라고 자부했던 터라, 더욱더 자신의 의심이 정당하다고 여겼습니다. 그는 자신이 받은 교육은 인간의.. 2024. 2. 1. 이전 1 2 다음
