다면체의 신비 1탄

플라톤의 입체, 정다면체(Regular Polyhedron)

플라톤의 입체란 여러 면을 가진 3차원 입체를 말합니다. 이때, 모든 면이 합동인 정다각형으로 되어 있으며, 각 꼭짓점에 모인 모서리의 수가 모두 같아야 합니다. 우리가 일반적으로 잘 알고 있는 것이 주사위 모양의 정육면체입니다. 정육면체는 합동인 정사각형 6개로 둘러싸인 입체도형입니다. 고대 그리스인들은 플라톤의 입체는 오로지 다섯 개뿐임을 알고 그 사실을 증명했습니다. 다섯 개의 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체입니다. 

 

정다면체(볼록 정다면체)는 5개뿐임을 다음과 같이 증명할 수 있습니다.

▶ 다면체에서 하나의 꼭짓점이 만들어지기 위해서는 최소한 세 개의 면이 만나야 합니다.

▶ 각 꼭지각의 합은 360˚보다 작아야 합니다.

▶ 다면체를 구성하는 면은 모두 합동이므로 각 꼭지각의 크기는 같습니다.

    한편, 이런 꼭지각이 최소 세 개로 구성되므로 모든 꼭지각의 크기는 120˚보다 작아야 합니다.

▶ 내각의 크기가 120˚보다 작은 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정오각형뿐입니다.

▶ 정삼각형의 한 내각의 크기가 60˚이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 정삼각형의 개수는 3개, 4개, 5개입니다.

    이것은 각각 정사면체, 정팔면체, 정이십면체가 됩니다.

▶ 정사각형의 한 내각의 크기가 90˚이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 정사각형의 개수는 3개입니다.

    이것은 정육면체가 됩니다.

▶ 정오각형의 한 내각의 크기가 108˚이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 정사각형의 개수는 3개입니다.

     이것은 정십이면체가 됩니다.

 

플라톤은 기원전 350년경에 「티마이오스」를 통해 플라톤의 입체 다섯 가지를 설명했습니다. 플라톤은 이 입체들의 아름다움과 대칭성에 감탄하고, 그 형태들이 우주를 구성하는 네 가지 기본 원소의 구조를 나타낸다고 믿었습니다. 정사면체는 불을, 정팔면체는 공기를 정이십면체는 물을 표상한다고 생각했습니다. 흙을 구성하는 것은 정육면체, 그리고 신이 하늘의 별자리들을 배치하는데 정십이면체는 사용했다고 믿었습니다. 

 

아르키메데스의 준정다면체(Semi-Regular Polyhedron)

아르키메데스 준정다면체는 정다면체와 마찬가지로 모든 면이 정다각형으로 이루어진 볼록 다면체를 말합니다. 하지만 각 면이 모두 합동일 필요는 없습니다. 예를 들어 아르키메데스는 현대의 축구공과 닮은 정오각형 12개와 정육각형 20개로 이루어진 준정다면체를 설명했습니다. 이런 종류의 다면체는 모든 꼭짓점마다 동일한 다각형들이 동일한 순서로 모이는데, 예를 들어 정육각형-정육각형-정사각형 하는 식입니다.

아르키메데스는의 자신의 저술에는 13개의 준정다면체를 소개하였으나 소실되었습니다. 르네상시 시기의 화가들이 12개의 준정다면체를 찾아냈습니다. 1619년 케플러는 저서인 「세계의 조화」에서 그 전부를 제시합니다. 준정다면체는 한 꼭짓점에 모이는 정다각형 모양들을 숫자로 표기하는 방법으로 나타냅니다. 예를 들어 3, 5, 3, 5는 정삼각형, 정오각형, 정삼각형, 정오각형이 그 순서대로 나타난다는 뜻입니다.

32면으로 된 깎은 정이십면체는 현대의 축구공 형태인데 아르키메데스의 입체를 기반으로 만들어졌습니다. 제2차 세계 대전 당시 일본 나가사키에 떨어진 원자 폭탄 '팻맨'의 기폭 장치에서 충격파를 집중시키도록 폭탄을 배치할 때 이 배열을 활용했습니다. 1980년대 화학자들은 원자 60개를 꼭짓점으로 해서 깎은 정이십면체를 이루는 탄소 분자를 만드는 데 성공했습니다. 이 분자는 화학적, 물리적으로 매력적인 특성을 가지고 있어 화장품, 에이즈 치료약까지 그 응용법이 다양하게 연구되고 있습니다.

 

오일러의 다면체 공식

수학 분야에서 가장 아름다운 공식들 중 하나가 바로 오일러의 다면체 공식입니다. 오일러의 다면체 공식은 도형과 그 상호 관계를 연구하는 위상 수학 분야에서 최초로 등장한 위대한 공식 중 하나입니다. 1751년에 스위스 수학자이자 물리학자인 레온하르트 파울 오일러(Euler)는 볼록한 다면체는 모두 꼭짓점의 개수를 V, 변의 개수를 E, 면의 개수를 F로 놓았을 때

 

V-E+F=2

 

를 만족시킨다는 사실을 발견했습니다. 볼록 다면체는 홈이나 구멍이 없는 다면체, 더 엄밀히 말해서 내부의 임의의 두 점을 연결하는 모든 선분이 모두 그 도형의 내부에 담겨 있는 다면체를 말합니다. 예를 들어 정육면체는 면이 6개, 변이 12개, 꼭짓점이 8개입니다. 이 값들을 오일러 공식에 넣으면 6-12+8=2를 얻을 수 있습니다. 12개의 면을 가진 정십이면체에서는 20-30+12=2가 됩니다. 흥미롭게도 1639년경에 르네 데카르트는 몇 가지 수학적 단계들을 거쳐 오일러의 공식으로 변환될 수 있는 다면체 공식을 발견한 바 있습니다.

이후, 다면체 공식은 네트워크와 그래프 연구로 일반화되어 수학자들에게 더 높은 차원의 도형들을 이해하는 데 도움을 주었습니다. 도한 이 공식은 수많은 실용 분야에 응용할 수 있었습니다. 컴퓨터 전문가들은 이 공식을 이용해 전기 회로에서 전선을 배열하는 방법을 찾았고, 우주론 연구자들은 우리 우주의 모양을 고찰하였습니다. ■