전체 글26 조립제법(Synthetic division)의 원리 다항식에 대한 호제법(Division Algorithm) 두 정수의 최대공약수를 체계적으로 구하는 방법인 정수에 관한 유클리드 호제법은 정수를 다루는 데 기본적으로 활용되는 정수의 호제법을 근간으로 하고 있습니다. 즉, 정수 a를 양의 정수 b로 나누면 몫과 나머지가 얻어지는데, 특히 나머지는 b의 크기보다 작은 범위에서 얻어진다는 것입니다. 이러한 정수의 호제법은 다항식의 호제법으로 응용되어 방정식의 해집합을 구하는데 유용하게 활용되기도 합니다. 이러한 q(x)와 r(x)는 f(x)를 g(x)로 나눌 때의 몫(quotient)과 나머지(remainder)라고 각각 부릅니다. 이 정리에서 r(x)=0 이면 f(x)=q(x) g(x)가 되는데, 이때 f(x)는 g(x)의 배수(multiple) 그리고 g(.. 2024. 2. 1. 복소수의 등장 수학자들의 대수학 연구 카르다노(G. Cardano)가 1545년에 발표한 위대한 술법(Ars Magna)이라는 저서 속에 들어 있는 여러 가지 발견 중에서 가장 중요한 소득의 하나는 수학자로 하여금 다양한 방법으로 대수학을 연구하도록 하게 하였다는 점입니다. 즉, 임의의 차수를 갖는 방정식의 해법을 생각하는 쪽으로 연구가 일반화되었는데, 특히 오차방정식의 대수적인 해법을 생각하도록 하였습니다. 이후로 2세기 동안이나 수학자들은 고대의 고전적인 기하문제와 비교되는 풀리지 않는 대수적 문제를 다루게 됩니다. 무리수는 카르다노 시대에도 비론 이론적인 기초가 빈약하기는 하였지만 유리수의 근삿값으로 받아들여졌습니다. 그러나 음수의 경우는 당시에도 받아들여지기가 쉽지 않았었습니다. 따라서 어떤 대수학자가 무리수나.. 2024. 2. 1. 부등식, 절대부등식-조건부부등식 부등식(inequality)의 정의 우리가 두 사람의 나이를 비교할 때, 첫 번째 사람의 나이 x가 두 번째 사람의 나이 y보다 많다는 사실을 수학적인 식으로 표현하면 어떻게 쓸 수 있을까요? 중고등학교고정의 수학을 공부한 사람이라면 누구나 x>y라고 위와 같은 사실을 표현할 수 있습니다. 이와 같이 우리의 일상생활에서 일어나는 “~보다 크다”, 또는 “~보다 많다”와 같은 개념을 수식으로 표현하여 다루어 주는 식이 부등식(inequality)입니다. 이러한 부등식의 개념을 다루어 주기 위하여 우선 실수와 수직선에 대해 살펴봅시다. 실수와 수직선의 일대일대응 실수의 집합 R과 직선 l 위에 있는 모든 점의 집합사이에는 각 실수 a에 대하여 직선상의 꼭 한 점이 대응되고 또 그 역도 성립한다는 사실을 알고.. 2024. 1. 31. 수학적 귀납법(Mathematical induction) 이란? 수학적 귀납법은 무엇인가? 수학적 귀납법을 최초로 사용한 역사상의 인물은 유클리드(Euclid)로 알려져 있습니다. 유클리드는 13권으로 된 원론(Elements)의 제9권 명제 20에서 소수의 무한성을 증명하기 위한 간접증명방법으로 수학적 귀납법을 이용하였습니다. 또한 아르키메데스(Archimedes)는 자신이 고안한 착출법으로 곡선의 면적을 계산하는 데 수학적 귀납법을 사용하였고, 이후로 남아 있는 기록에 의하면 이탈리아의 모롤리꼬(Francesco Maurolico)가 논문에서, 이어서 파스칼(Blaise Pascal), 페르마(Pierre de Fermat), 베르누이(Jakob BBernoulli) 등도 수학적 귀납법을 증명방법으로 사용하였습니다. 수학적 귀납법(mathematical induc.. 2024. 1. 30. 변수를 이용하여 얻을 수 있는 다항식과 대수식 수학의 기본이 되는 개념 가운데 하나인 실수 실수(real number)를 도입하기 위해 유리수(rational number)의 집합은 이미 알고 있다고 하겠습니다. 유리수는 사칙연산-덧셈, 뺄셈, 곱셈, 0 이외의 수에 의한 나눗셈-에 대하여 닫혀 있습니다. 그러나 이미 우리는 기하학적인 작도를 통하여 루트2와 같은 무리수(irrational number)를 알고 있으므로 유리수를 수의 전부라고 생각할 수는 없습니다. 예를 들어 루트2와 같은 수를 도입하고 나면 유리수와 루트2를 포함한 대수적인 연산을 수행하여 얻어지게 되는 모든 수도 생각해야 합니다. 그렇다고 여기에서 멈춰서도 안됩니다. 이는 이미 우리가 다뤄온 수들을 계수로 하는 방정식의 근이 되는 수들을 생각해야 하기 때문입니다. 그러나 이것도 .. 2024. 1. 30. 대수학이란 무엇인가? 방정식(equation)을 연구하는 대수학(Algebra) 우리가 살아가는 일상생활 속에서 자세히 관심을 가지고 살펴보면 일정한 규칙을 가지고 변화해 가는 자연현상이나 여러 가지 문제들을 접하게 됩니다. 예를 들어, 엄지손가락 법칙(rule of thumb : 먼저 번개가 치고 나서 천둥소리가 몇 초 후에 들렸는가를 세고, 그 숫자를 5로 나누면 그때 얻어지는 숫자가 바로 마일로 된 대략적인 거리가 됨.)은 번개가 친 장소로부터 내가 서 있는 자리까지의 거리를 대략 알려줍니다. 만일 번개가 친 후 10초 만에 천둥소리를 들었다면, 내가 서 있는 자리는 번개가 친 곳으로부터 대략 10/5=2마일 떨어져 있다는 의미입니다. 이러한 상황을 일반적으로 나타내기 위하여 몇 초인가를 나타내는 수를 s라고 한다면, .. 2024. 1. 30. 이전 1 2 다음
