분류 전체보기26 다면체의 신비 1탄 플라톤의 입체, 정다면체(Regular Polyhedron) 플라톤의 입체란 여러 면을 가진 3차원 입체를 말합니다. 이때, 모든 면이 합동인 정다각형으로 되어 있으며, 각 꼭짓점에 모인 모서리의 수가 모두 같아야 합니다. 우리가 일반적으로 잘 알고 있는 것이 주사위 모양의 정육면체입니다. 정육면체는 합동인 정사각형 6개로 둘러싸인 입체도형입니다. 고대 그리스인들은 플라톤의 입체는 오로지 다섯 개뿐임을 알고 그 사실을 증명했습니다. 다섯 개의 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체입니다. 정다면체(볼록 정다면체)는 5개뿐임을 다음과 같이 증명할 수 있습니다. ▶ 다면체에서 하나의 꼭짓점이 만들어지기 위해서는 최소한 세 개의 면이 만나야 합니다. ▶ 각 꼭지각의 합은 360˚보다.. 2024. 2. 2. 침착하고 말이 없던 소년, 뉴턴 1665년~1666년, 창조적 휴가 1642년 태어난 뉴턴은 갓난아기 때부터 미숙하고 허약했습니다. 아버지는 뉴턴이 태어나기 두 달 전에 세상을 떠났고, 어머니는 혼자 농장을 운영하느라 바빴기에 그를 다른 사람에게 맡겼습니다. 뉴턴은 아주 평범한 시골 학교에서 공부했으며, 특별한 재능을 보이지 않았습니다. 그래도 가족의 지원으로 1661년에 케임브리지 대학에 가서 트리니티 칼리지에 입학했습니다. 여기서 마침내 뉴턴은 코페르니쿠스, 케플러 및 갈릴레오의 저작들을 연구할 기회를 얻게 됩니다. 뉴턴은 대학 성적이 뛰어나지 않았는데, 특히 기하하학에 어려움을 느껴서 전공을 과학에서 법학으로 바꾸려고 했습니다. 하지만 한 명의 훌륭한 스승을 만났는데 그 사람이 바로 아이작 배로우(Isaac Barrow)입니다. .. 2024. 2. 2. 수학교수 갈릴레오는 왜 과학자인가? 갈릴레오의 과학적 방법 갈릴레오는 1564년 미켈란젤로가 죽던 날 이탈리아의 피사에서 태어났습니다. 피사의 대학에 입학해 의학을 공부했고 또한 수학을 개인교습을 배웠는데, 이 학문에 매우 끌려서 수학을 직업으로 삼기로 결심합니다. 23세의 나이에 볼로냐 대학의 교수직을 신청했지만 거절당하고, 피사 대학에서 수학 교수직을 제안받고 수락했습니다. 갈릴레오는 아리스토텔레스 과학을 공격한 인물들 중 한 명이었는데 설령 동료들이 멀리하더라도 주저 없이 자신의 비판적 견해를 펼쳤습니다. 그는 1592년 피사 대학을 떠나 파두아 대학에서 수학 교수직을 맡게 됩니다. 파두아 대학에서 18년 동안 머문 후에는 대공 코시모 데 미디치 2세의 초청으로 피렌체로 갑니다. 피렌체에서 갈릴레오는 여유를 갖고 연구와 저술에 몰두하.. 2024. 2. 2. 기하학이 예술과 결합하니, 더욱 거부할 수가 없네 수학적 원근법의 기본 개념 유럽 르네상스 시기의 화가들이 회화의 새로운 양식을 마련하기 위해 수학에 관심을 보였다는 사실은 조금 놀랍지만, 이 현상에는 나름의 이유가 있습니다. 14~16세기 화가들은 당대의 건축가이자 공학자였습니다. 그들은 또한 조각가, 발명가, 대장장이 그리고 석공이기도 했습니다. 그들은 교회, 궁전, 다리, 댐, 도시 성벽 및 무기를 설계하고 제작하기도 했습니다. 이런 다양한 활동에 비추어 볼 때 화가는 필연적으로 얼마만큼은 과학자일 수밖에 없었습니다. 르네상스 화가들이 어떻게 수학을 도입하여 회화 기법을 혁신시켰을까요? 14세기 후반부에는 발전이 별로 없었습니다. 왜냐하면 흑사병이 유럽 전역을 뒤흔들어 수많은 사람들이 죽었기 때문입니다. 15세기 화가들은 수학이 실제 세계의 본질이.. 2024. 2. 2. 파스칼은 천재? , 정신이상자? 파스칼의 삼각형(Pascal's Triangle) 파스칼은 일생동안 훌륭한 작가이며 철학자이자 수학자였습니다. 그러나 종교를 우위에 두었기 때문에 벨(E. T. Bell)과 같은 역사학자는 그를 정신이상자라고 주장하면서 「수학을 만든 사람들」(Men of Mathematics)에서 다음과 같이 쓰고 있습니다. 우리는 주로 파스칼을 매우 천부적인 수학자라고 여긴다. 그런데 그는 고행을 위한 가학적 기질과 그 시대의 종교 파벌과의 논쟁에 대한 무익한 고찰로 인해 결국 소위 종교적인 노이로제 환자로 추락하고 말았다. 그리고 몇 페이지 뒤에서 벨은 다음과 같이 애도하였습니다. 만일 그의 천성이 신의 속박에서 헤어나 스스로 할 수 있는 인간이 될 수 있었다면, 인간의 곤궁과 종엄에 대한 평범한 관찰이나 의미 없는.. 2024. 2. 1. 기하학에 새로운 방법, 데카르트의 좌표기하학 데카르트의 삶 데카르트(Rene Descartes)는 태어나자마자 어머니를 잃었습니다. 경제적으로 안정된 가정에서 자라 라 플레슈 예수회 대학에서 공식적이고 전통적인 훌륭한 교육을 받았지만 건강이 좋지 않았습니다. 데카르트는 학창 생활 중에도 교사를 포함해 이미 당대의 많은 사람들이 공언하는 진리에 비판적이었으며 자신이 배우는 지식에 의문을 품었다고 합니다. 당시 사회는 천 년 동안 유럽을 지배한 세계관이 맹렬하게 도전을 받던 시기였기에, 데카르트는 교사들 및 다른 지도자들이 강압적이고 독단적으로 선언한 가르침에 만족할 수 없었습니다. 데카르트는 자신이 유럽의 최고 명문 학교에 다니며 결코 열등한 학생이 아니라고 자부했던 터라, 더욱더 자신의 의심이 정당하다고 여겼습니다. 그는 자신이 받은 교육은 인간의.. 2024. 2. 1. 새로운 계산 도구, 로그 로그는 큰 수의 곱셈을 편리하게 하기 위해 발명되었다 네이피어(J. Napier)는 로그를 구성하는 데 20여 년 이상의 시간 동안 매달린 스코틀랜드의 남작이었습니다. 수학, 신학, 점성술을 좋아하였는데, 특히 신학에서는 슈티펠*(Michael Stifel)처럼 교황이 반 기독교인이라는 사실을 증명하는데 관심이 있었으며, 「성 요한 묵시록 전체에서의 소박한 발견」(A Plaine Discovery of Whole Revelation of St. John)이라는 책을 출판하였습니다. 네이피어가 발견한 것 중에는 1700년 이전에 세상의 종말이 올 것이라는 부분도 있습니다. * 슈티펠(Michael Stifel)은 독일의 수학자로 처음에는 수도원에 들어갔으나 마르틴 루터의 종교 개혁에 자극을 받아 수도원을 .. 2024. 2. 1. 위대한 술법(Ars Magna)이 현대대수학의 탄생에 끼친 영향 카르다노의 감사의 글 카르다노의 위대한 술법이라는 저서를 통하여 이 저서가 현대대수학의 발전에서 담당했던 중요한 역할은 무엇이었을까요? 그리고 카르다노가현대대수학의 발전에 있어서 핵심적인 인물로 인식되고 있는 이유는 무엇일까요? 다음은 감사의 글입니다. 카르다노는 자신이 어떻게 해서 방정식 의 해법과 페라리의 결과를 알게 되었는지를 숨기지 않고 솔직하게 밝히고 있습니다. 그의 말을 아래에 인용합니다. 오늘날 볼로냐의 페로는 삼차항과 일차항의 합이 상수와 같은 형태의 방정식의 해법을 찾아냈는데 이는 대단히 우아하고 존경할 만한 성취이다. 이 해법은 모든 사람들의 정교함과 정신적인 재능의 명쾌함을 뛰어넘고 천부적인 재능과 인간의 정신의 능력을 명백히 테스트하는 것이어서 그 문제에 도전했던 사람은 누구나 자신.. 2024. 2. 1. 조립제법(Synthetic division)의 원리 다항식에 대한 호제법(Division Algorithm) 두 정수의 최대공약수를 체계적으로 구하는 방법인 정수에 관한 유클리드 호제법은 정수를 다루는 데 기본적으로 활용되는 정수의 호제법을 근간으로 하고 있습니다. 즉, 정수 a를 양의 정수 b로 나누면 몫과 나머지가 얻어지는데, 특히 나머지는 b의 크기보다 작은 범위에서 얻어진다는 것입니다. 이러한 정수의 호제법은 다항식의 호제법으로 응용되어 방정식의 해집합을 구하는데 유용하게 활용되기도 합니다. 이러한 q(x)와 r(x)는 f(x)를 g(x)로 나눌 때의 몫(quotient)과 나머지(remainder)라고 각각 부릅니다. 이 정리에서 r(x)=0 이면 f(x)=q(x) g(x)가 되는데, 이때 f(x)는 g(x)의 배수(multiple) 그리고 g(.. 2024. 2. 1. 복소수의 등장 수학자들의 대수학 연구 카르다노(G. Cardano)가 1545년에 발표한 위대한 술법(Ars Magna)이라는 저서 속에 들어 있는 여러 가지 발견 중에서 가장 중요한 소득의 하나는 수학자로 하여금 다양한 방법으로 대수학을 연구하도록 하게 하였다는 점입니다. 즉, 임의의 차수를 갖는 방정식의 해법을 생각하는 쪽으로 연구가 일반화되었는데, 특히 오차방정식의 대수적인 해법을 생각하도록 하였습니다. 이후로 2세기 동안이나 수학자들은 고대의 고전적인 기하문제와 비교되는 풀리지 않는 대수적 문제를 다루게 됩니다. 무리수는 카르다노 시대에도 비론 이론적인 기초가 빈약하기는 하였지만 유리수의 근삿값으로 받아들여졌습니다. 그러나 음수의 경우는 당시에도 받아들여지기가 쉽지 않았었습니다. 따라서 어떤 대수학자가 무리수나.. 2024. 2. 1. 부등식, 절대부등식-조건부부등식 부등식(inequality)의 정의 우리가 두 사람의 나이를 비교할 때, 첫 번째 사람의 나이 x가 두 번째 사람의 나이 y보다 많다는 사실을 수학적인 식으로 표현하면 어떻게 쓸 수 있을까요? 중고등학교고정의 수학을 공부한 사람이라면 누구나 x>y라고 위와 같은 사실을 표현할 수 있습니다. 이와 같이 우리의 일상생활에서 일어나는 “~보다 크다”, 또는 “~보다 많다”와 같은 개념을 수식으로 표현하여 다루어 주는 식이 부등식(inequality)입니다. 이러한 부등식의 개념을 다루어 주기 위하여 우선 실수와 수직선에 대해 살펴봅시다. 실수와 수직선의 일대일대응 실수의 집합 R과 직선 l 위에 있는 모든 점의 집합사이에는 각 실수 a에 대하여 직선상의 꼭 한 점이 대응되고 또 그 역도 성립한다는 사실을 알고.. 2024. 1. 31. 수학적 귀납법(Mathematical induction) 이란? 수학적 귀납법은 무엇인가? 수학적 귀납법을 최초로 사용한 역사상의 인물은 유클리드(Euclid)로 알려져 있습니다. 유클리드는 13권으로 된 원론(Elements)의 제9권 명제 20에서 소수의 무한성을 증명하기 위한 간접증명방법으로 수학적 귀납법을 이용하였습니다. 또한 아르키메데스(Archimedes)는 자신이 고안한 착출법으로 곡선의 면적을 계산하는 데 수학적 귀납법을 사용하였고, 이후로 남아 있는 기록에 의하면 이탈리아의 모롤리꼬(Francesco Maurolico)가 논문에서, 이어서 파스칼(Blaise Pascal), 페르마(Pierre de Fermat), 베르누이(Jakob BBernoulli) 등도 수학적 귀납법을 증명방법으로 사용하였습니다. 수학적 귀납법(mathematical induc.. 2024. 1. 30. 이전 1 2 3 다음
