변수를 이용하여 얻을 수 있는 다항식과 대수식

수학의 기본이 되는 개념 가운데 하나인 실수

 

실수(real number)를 도입하기 위해 유리수(rational number)의 집합은 이미 알고 있다고 하겠습니다. 유리수는 사칙연산-덧셈, 뺄셈, 곱셈, 0 이외의 수에 의한 나눗셈-에 대하여 닫혀 있습니다. 그러나 이미 우리는 기하학적인 작도를 통하여 루트2와 같은 무리수(irrational number)를 알고 있으므로 유리수를 수의 전부라고 생각할 수는 없습니다. 예를 들어 루트2와 같은 수를 도입하고 나면 유리수와 루트2를 포함한 대수적인 연산을 수행하여 얻어지게 되는 모든 수도 생각해야 합니다. 그렇다고 여기에서 멈춰서도 안됩니다. 이는 이미 우리가 다뤄온 수들을 계수로 하는 방정식의 근이 되는 수들을 생각해야 하기 때문입니다. 그러나 이것도 충분하지 않습니다. 그 이유는 pi, e와 같은 수들은 유리수 계수나 대수적 계수로 이루어진 임의의 방정식의 근이 되지 않음이 알려져 있기 때문입니다. 이러한 수들은 초월수(transcendental number)라고 알려져 있는데 이러한 모든 초월수도 실수체계에 포함시켜야 합니다.

그렇다면 어디에서 멈춰야 할까요?

이 문제에 대한 해답은 데데킨트(Julius Wilhelm Richard Dedekind)에 의하여 얻어졌습니다. 데데킨트는 실수체계를 R이라고 쓴 대상의 집합으로 시각화하였고 다음의 성질을 가지고 있는 것으로 보았습니다.

 

 

(1) R은 Q를 포함한다. 즉, 모든 유리수는 R에 포함되어야 한다.

(2) R에는 순서(order)의 개념이 있는데, 임의로 주어진 R의 원소 a, b에 대하여 a<b 이거나 b<a 이거나 a=b이어야 한다. 이 세 가지 성질 중에 반드시 하나만이 성립해야 한다.

(3) 순서의 개념은 대수적 연산과 모순되지 않아야 한다. 이는 a<b 인 경우에는 임의의 c에 대하여 a+c<b+c 이고, a>0은 –a<0과 동치이며, a>0, b>0이면 ab>0이라는 성질이 성립한다는 의미이다.

(4) R은 기술적으로 완비(complete)이다. 이는 실수의 핵심적 성질이다. 

이러한 성질들은 대수학에서 자세히 다루지 않지만, 무엇보다 먼저 유리수는 위의 성질 (1)~(3)은 가지고 있지만 (4)는 가지고 있지 않다는 사실이 중요합니다. 

 

실수는 덧셈연산과 곱셈연산에 대하여 닫혀 있습니다.(closed) 여기에서 닫혀 있다라는 말의 의미는 실수의 모든 쌍 a, b에 대하여 a와 b의 합(sum)이라고 부르는 a+b가 대응되고, a와 b의 곱(multiplication)이라고 부르는 ab가 유일하게 대응된다는 것을 의미합니다. 

 

등호(equal sign) = 는 등호의 왼쪽과 오른쪽에 같은 실수가 있음을 의미합니다. 실수 0과 1은 때때로 덧셈에 관한 항등원(additive identity)과 곱셈에 관항 항등원(multiplicative identity)이라고 각각 부릅니다. 또한 –a는 a의 덧셈에 관한 역원(additive inverse of a)이라고 부릅니다. 0이 아닌 a에 대하여 1/a는 a의 곱셈에 관한 역원(multiplicative inverse of a)이라고 부릅니다. 

 

양의 정수는 실수 1에 계속적으로 자기 자신을 더해서 얻을 수 있습니다. 양의 정수에서 음의 정수를 얻을 수 있고, 정수는 양의 정수와 음의 정수 그리고 0으로 이루어져 있습니다. 

 

1이 아닌 양의 정수 p를 소수(prime number)라고 하는 것은 1과 자기 자신만이 유일한 양의 약수일 때를 말합니다. 소수의 중요성 가운데 하나는 1이 아닌 모든 양의 정수는 소수의 곱으로 유일하게 표현된다는 산술의 기본정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)입니다. 

 

유리수(rational number)는 a/b의 형태로 표현되는 실수를 말하는데 여기에서 a, b는 정수로 b는 0이 아닙니다. 그리고 유리수가 아닌 실수를 무리수(irrational number)라고 부릅니다. 원의 둘레와 지름의 비는 무리수이고 제곱해서 2가 되는 실수도 유리수가 아닌 경우입니다. 

 

실수는 기하학적으로 실수축(real axis)이라고 부르는 직선상의 점으로 표현할 수 있습니다. 0을 나타내기 위하여 한 점을 선택하고 0에서부터 1이라는 다른 점을 택하면 이 점들은 크기를 결정합니다. 그러면 실수축상의 각 점들은 단지 하나의 실수와 대응되고 역으로 각 실수는 하난의 점으로 표현됩니다.

 

이외에도 실수는 순서(order)에 관한 공리, 연속성(continuity) 등의 여러 가지 특징이 있습니다.

 

 

다항식과 대수식

 

변수 x의 정의역(domain of a variable)은 때로는 x의 값으로 허용되는 값의 집합을 의미하기도 합니다. 예를 들면 식 루트 x가 주어져 있을 때, 하나의 실수를 얻기 위해서는 x가 0 이상이어야 하고 따라 이 경우에 x의 정의역은 음이 아닌 실수의 집합이 됩니다.

 

몇 개인가의 변수와 실수로 시작하여 대수식(algebraic expression)을 만드는데 이는 사칙연산과 제곱근을 이용하여 얻는 식을 말합니다. 

 

대수식에서 특별한 수를 변수에 대입하여 얻은 실수는 그 수에 대한 식의 값(value)이라고 부릅니다.

 

대수식을 다룰 때에는 대수식이 무의미하게 되는 수를 변수가 나타내지 않도록 정의역을 잡아야합니다. 따라서 분모는 0이 되지 않도록 해야 하고 근은 항상 존재해야 하는 등의 내용이 가정되어야 합니다. 과정을 단순화하기 위하여 언제나 정의역을 언급하지는 않습니다. 어떤 수를 변수에 대입하여 무의미한 식을 얻었다면 그러한 수들은 변수의 정의역에 속하지 않는 것으로 생각해야 합니다.

 

x로 이루어진 다항식은 x를 포함한 덧셈, 뺄셈 그리고 곱셈을 통하여 얻은 대수식으로 생각할 수 있습니다. 만약 변수의 나눗셈, 변수의 제곱근 등을 가지고 있으면 다항식이 아닙니다. 다항식과 다항식을 만드는 단항식들은 실수를 나타내는 기호이기 때문에 실수의 모든 법칙들이 적용됩니다. 다항식에 덧셈, 곱셈 그리고 뺄셈을 시행하면 실수의 다양한 성질을 이용하여 간단한 결과식을 얻을 수 있습니다. 대수학에서 자주 등장하는 곱셈공식은 특별히 알아둘 필요가 있습니다. ■