부등식, 절대부등식-조건부부등식

부등식(inequality)의 정의

우리가 두 사람의 나이를 비교할 때, 첫 번째 사람의 나이 x가 두 번째 사람의 나이 y보다 많다는 사실을 수학적인 식으로 표현하면 어떻게 쓸 수 있을까요? 중고등학교고정의 수학을 공부한 사람이라면 누구나 x>y라고 위와 같은 사실을 표현할 수 있습니다. 이와 같이 우리의 일상생활에서 일어나는 “~보다 크다”, 또는 “~보다 많다”와 같은 개념을 수식으로 표현하여 다루어 주는 식이 부등식(inequality)입니다. 이러한 부등식의 개념을 다루어 주기 위하여 우선 실수와 수직선에 대해 살펴봅시다.

 

 

실수와 수직선의 일대일대응

실수의 집합 R과 직선 l 위에 있는 모든 점의 집합사이에는 각 실수 a에 대하여 직선상의 꼭 한 점이 대응되고 또 그 역도 성립한다는 사실을 알고 있습니다. 두 집합 사이의 이러한 대응을 일대일 대응(one-to-one correspondence)이라고 합니다. 먼저 직선 l 위에 있는 임의의 점을 잡아서 그 점을 원점(origin) O라고 하고 원점에 실수의 0을 대응시킵니다. 그러면 정수에 대응하는 점들은 원점 O의 좌우에 일정한 간격으로 계속해서 있는 점으로 표현됩니다. 또한 유리수들은 동일한 간격의 선분을 적절히 나누어줌으로써 대응되는 점들로 결정할 수 있습니다. 그리고 루트 2와 같은 무리수는 기하학적인 작도에 의하여 결정할 수 있지만, pi와 같은 무리수는 작도에 의하여 결정할 수 없습니다. 그러나 pi에 대응하는 점은

 

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ...

 

등의 대응점을 계속하여 찍어 감으로써 구할 수 있습니다. 직선 l 위에 있는 점 A에 대응하는 실수 a를 A의 좌표(corodinate)라고 합니다. 그리고 l 위에 있는 점들에 좌표를 대응시킨 것을 직선 l에 대한 좌표계(coordinates system)라고 하고 l을 좌표선(coordinates line) 또는 수직선(number line)이라고 합니다.

 

직선 l의 오른쪽은 양의 방향, 왼쪽은 음의 방향으로 정하면 원점 O의 오른쪽에 대응되는 수를 양의 실수(positive real number), 왼쪽에 대응되는 수를 음의 실수(negative real number)라고 합니다. 이러한 정의에 따르면 실수 0은 양도 음도 아닌 실수입니다.

 

양의 실수들의 집합은 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있습니다. 다시 말해서, a와 b가 양의 실수이면, 두 수의 합인 a+b와 두 수의 곱인 ab도 양의 실수라는 것입니다. a가 양이면 -a는 음수이고, -a가 양이면 -(-a)=a는 음수입니다. 우리가 흔히 잘못 생각하는 것 중의 하나가 -a는 항상 음수라고 생각하는 것입니다. 그러나 a=-3이라고 하면 –a=-(-3)=3이어서 양수가 됩니다. 실제로 a가 음수이면 –a는 양수인 것입니다.

 

부등식의 성질

a와 b가 실수라고 하고, a-b가 양수라고 하면, 이때 우리는 a가 b보다 크다고 하고 a>b라고 씁니다. 이와 동치인 표현으로는 b가 a보다 작다고 하고 b<a라고 씁니다. 여기에서 사용된 기호인 >, <를 부등호(inequality sign)라고 하고 부등호를 사용한 식을 부등식이라고 합니다. 앞에서 설명한 수직선 l을 만든 방법에 의하여, A와 B가 각각 좌표를 a와 b로 갖는 점이라면 a>b일 필요충분조건은 A가 B의 오른쪽에 위치하는 것입니다.

 

실수의 정의에서 a와 b가 실수라고 할 때, a=b, a>b 혹은 a<b 중에 꼭 한 가지만이 성립됨을 알 수 있습니다. 이러한 실수의 성질을 삼분법(trichotomy)이라고 합니다. 

 

a≥b는 a가 b보다 크거나 같은 경우에 사용하는데, a>b이거나 a=b일 때를 의미하는 것으로 두 가지가 동시에 성립한다는 것은 아닙니다. 마찬가지로 a≤b는 a가 b보다 작거나 같은 경우에 사용하는 것으로, a<b이거나 a=b일 때를 의미합니다. 또한 a<b<c는 a<b이고 동시에 b<c임을 뜻하는 것으로 이 경우에 b는 a와 c의 사이에 있다고 합니다. 이러한 표현은 c>b>a에서도 적용됩니다.

 

이제 a와 b가 실수라고 하면, 부등식 a>b 혹은 b<a는 a-b가 양수입을 의미합니다. 이를 수직선상에서 생각하면 좌표 a의 대응점이 좌표 b의 대응점보다 오른쪽에 있다는 것으로 생각하면 됩니다. 또한 b>c이면 위와 마찬가지로 생가갛여 명백히 a>c라고 할 수 있습니다. 이러한 사실로부터 a>b이고 b>c 이면 a>c 이라고 말할 수 있습니다. 

 

이렇게 우리가 부등식을 다루어줄 때에는 방정식의 풀이과정에서 사용하는 여러 가지 방법을 사용하기도 합니다.

 

예를 들어, 부등식의 양변에 같은 실수를 더해주어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다는 사실은

 

“a>b 이면 a+c > b+c 이다. ”

 

라고 씁니다. 마찬가지로 부등식의 양변에 양의 실수를 곱해주어도 부등호는 바뀌지 않는다는 사실은

 

“a>b 이고 c>0 이면 ac > bc 이다. ”

 

라고 씁니다. 그러나 이 경우에 c가 음수이면 부등호의 방향이 바뀝니다.

 

“a>b 이고 c<0 이면 ac < bc 이다. ”

 

부등식에는 절대부등식(unconditional inequality)과 조건부부등식(conditional inequality)이 있습니다. 절대부등식은 그 안에 포함되는 문자의 모든 값에 대하여 성립하는 것이고, 조건부부등식은 어떤 범위 내의 변수에 대하여만 성립하는 것을 말합니다. 따라서 등식의 경우와 마찬가지로 절대부등식은 증명할 것이, 그리고 조건부부등식은 풀 것이 요구된다고 할 수 있습니다. ■