대수학이란 무엇인가?

방정식(equation)을 연구하는 대수학(Algebra)

우리가 살아가는 일상생활 속에서 자세히 관심을 가지고 살펴보면 일정한 규칙을 가지고 변화해 가는 자연현상이나 여러 가지 문제들을 접하게 됩니다. 예를 들어, 엄지손가락 법칙(rule of thumb : 먼저 번개가 치고 나서 천둥소리가 몇 초 후에 들렸는가를 세고, 그 숫자를 5로 나누면 그때 얻어지는 숫자가 바로 마일로 된 대략적인 거리가 됨.)은 번개가 친 장소로부터 내가 서 있는 자리까지의 거리를 대략 알려줍니다. 만일 번개가 친 후 10초 만에 천둥소리를 들었다면, 내가 서 있는 자리는 번개가 친 곳으로부터 대략 10/5=2마일 떨어져 있다는 의미입니다. 이러한 상황을 일반적으로 나타내기 위하여 몇 초인가를 나타내는 수를 s라고 한다면, s/5가 바로 번개 친 곳으로부터의 대략적인 거리를 나타내는 것이 됩니다. 이때 사용된 s는 변수(variable)라고 하는데, 변수란 하나의 문자나 기호로서 어떤 집합에 속하는 임의의 수나 다른 대상으로 바꾸어 넣을 수 있는 것을 말합니다. 위의 상황에서 거리를 n이라 하고 시간(초)을 s라고 하면, n=s/5와 같이 표현할 수 있습니다. 이처럼 하나 혹은 하나 이상의 변수로 이루어진 관계식을 대수방정식(Algebraic equation) 혹은 간단히 방정식(equation)이라고 합니다.

이처럼 우리의 일상생활에서 얻어지는 많은 상황은 여러 가지 형태의 방정식으로 표현될 수 있는데, 이러한 방정식을 주요 대상으로 하여 체계적으로 연구하고 발전시킨 수학의 한 분야를 대수학(Algebra)이라고 합니다.

방정식의 의미와 역사

x의 어떤 값에도 성립하는 등식을 항등식(identity)이라 하고, x의 특정한 값에 대하여만 성립하는 등식을 방정식(equaion)이라고 합니다. 따라서 항등식은 증명(Prove)하는 과정이 요구되고, 방정식은 푸는(Solve) 과정이 요구됩니다. 방정식을 풀어서 얻어지는 변수 x의 값을 해(solution) 또는 근(root)이라 하고, 해나 근을 구하는 과정을 해법(solution)이라고 합니다. 해법은 주어진 방정식의 모양에 따라서 기하학적인 방법이나 여러 가지 방법을 통하여 구할 수 있으며, 그중 대수적해법(solvable by radicals)은 방정식의 계수들로부터 사칙연산과 실수의 거듭제곱근을 유한 번 사용하여 해를 구하는 방법입니다. 이러한 대수적해법으로 일차방정식, 이차방정식의 해법은 이미 고대 그리스 이전의 시기부터 다루어져 왔습니다. 오늘날 우리가 잘 알고 있는 이차방정식의 근의 공식은 0과 음수의 개념이 생겨난 뒤인 중세 인도에서 비롯된 것입니다. 그리고 삼차방정식의 일반적인 해법은 16세기 초에 이탈리아에서 행해졌던 수학 경시대회-당시에는 수학 경시대회에서 우승할 경우 막대한 상금을 받아 부와 명성을 한꺼번에 얻을 수 있었습니다-에서 페로(Sciopione del Ferro, 1465?~1526?)라는 수학자가 일반 삼차방정식을 이차항이 없는 삼차방정식으로 바꾸어 풀었으나, 그 해법은 제자인 피오르(Nicolo Tartaglia, 1500~1557)에게만 전수하였습니다. 그러다가 1541년 타르탈리아(Nicolo Tartaglia, 1500~1557)가 일차항이 없는 삼차방정식에 대한 일반적인 해법을 알아내었고, 사차방정식은 페라리(Ludovico Ferrari, 1522~1565)가 1544년에 일반적인 해법을 알아내었습니다. 이러한 삼차방정식과 사차방정식의 해법은 1545년에 카르다노(Girolamo Cardano, 1501~1576)가 위대한 술법(Ars Magna)이라는 자신의 저서에 수록하여 발표하였습니다. 이로 인하여 오늘날 삼차방정식의 해법을 카르다노의 해법(Cardano's method)이라 부르고 있습니다. 이어서 사람들의 관심은 오차방정식 및 그 이상의 차수로 된 대수방정식의 일반적인 해법을 구하는 것으로 바뀌게 되었습니다. 이 문제는 앞으로 200년간 미해결 문제로 남게 되어 프랑스의 수학자인 라그랑즈(Joseph Louis Lagrange, 1736~1813)는 이 문제를 "인간의 지적 능력에 대한 도전 문제"라고까지 불렀습니다. 그러던 중 그렇다면 과연 "고차방정식의 근은 존재하는가?"하는 근의 존재성(existence of roots)에 관한 문제를 생각하게 되었고, 이 문제는 1799년 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855)가 오늘날 대수학의 기본정리라고 알려진 "계수가 복소수인 n차 대수방정식은 복소수 범위에서 반드시 근을 갖는다"라는 사실을 밝힘으로써 해결하였습니다. 그럼에도 불구하고 오차나 그 이상의 차수로 이루어진 대수방정식의 일반적인 해법에 관한 문제는 풀리지 않다가 사차까지의 방정식이 풀린 이유를 연구하던 라그랑즈가 치환군의 개념을 도입하였고, 이 개념을 바탕으로 하여 1824년에 아벨(Niels H. Abel, 1802~1829)이 오차방정식의 일반적인 대수적해법은 없다는 사실을, 그리고 1826년에는 오차이상의 대수방정식의 일반적인 대수적해법 또한 없다는 사실을 증명하였습니다. 주어진 대수방정식이 대수적해법을 가질 필요충분조건을 찾아내는 것이 다음의 과제였는데, 이 문제를 해결한 사람이 갈루아(Evariste Galois, 1811~1832)였습니다. 1800년대 후반에 새로운 수학의 주제인 군론을 만들어낸 갈루아의 이론은 방정식론을 근본적으로 개혁하였을 뿐만 아니라 오늘날 현대대수학 또는 추상대수학이라고 부르는 새로운 수학의 영역을 만들게 하였습니다. ■