위대한 술법(Ars Magna)이 현대대수학의 탄생에 끼친 영향

카르다노의 감사의 글

카르다노의 위대한 술법이라는 저서를 통하여 이 저서가 현대대수학의 발전에서 담당했던 중요한 역할은 무엇이었을까요? 그리고 카르다노가현대대수학의 발전에 있어서 핵심적인 인물로 인식되고 있는 이유는 무엇일까요?

다음은 감사의 글입니다. 카르다노는 자신이 어떻게 해서 방정식

의 해법과 페라리의 결과를 알게 되었는지를 숨기지 않고 솔직하게 밝히고 있습니다. 그의 말을 아래에 인용합니다.

 

오늘날 볼로냐의 페로는 삼차항과 일차항의 합이 상수와 같은 형태의 방정식의 해법을 찾아냈는데
이는 대단히 우아하고 존경할 만한 성취이다.
이 해법은 모든 사람들의 정교함과 정신적인 재능의 명쾌함을 뛰어넘고
천부적인 재능과 인간의 정신의 능력을 명백히 테스트하는 것이어서
그 문제에 도전했던 사람은 누구나 자신이 이해하기 못하는 것은 아무것도 없다고 믿게 하는 것이다.
자신과의 싸움에서 나의 친구인 브레시아의 타르탈리아는 지고 싶지 않아서
자신이 페로의 제자인 피오르와의 경시대회에 임했을 때 위의 문제를 풀었고
내가 여러 번 간청하여 그 해법을 내게 알려주었다.
나는 파치올리의 말에 속아왔는데
파치올리는 자신이 알고 있는 것 이상의 일반적인 해법은 찾을 수 없을 것이라고 잘라 말했었다.
잘 알고 있는 바와 같이 나도 이미 많은 사실을 발견했음에도 불구하고 나는 절망했고
더 이상 알아보려 하지 않았었다.
그러나 타르탈리아의 해법을 알게 되어 그것을 증명하는 과정에서
얻을 수 있는아주 많은 다른 것이 있다는 사실을 알게 되었다.
커져가는 자신감을 가진 이러한 생각을 따라 일부는 나의 힘으로,
그리고 또 다른 일부는 나의 전 제자였던 페라리의 도움으로 알아내게 되었다.
이후로도 다른 사람에 의하여 발견된 그러한 사실은 그 사람들의 이름이 붙게 될 것이다.
모하멧에 의한 세 가지와 로도비코에 의한 두 가지를 제외하고
증명은 전적으로 내가 하였다.
각각은 규칙에 따라 적절한 순서로 배열하였고 예가 추가되어 있다.

 

페로가 했던 형태로 삼차방정적을 다루었던 훗날에 카르다노는 다음과 같이 말했습니다.

 

볼로냐의 페로는 거의 삼십 년 전에 이 법칙을 발견했고 베니스의 피오르에게 전해주었는데
피오르는 타르탈리아와의 경시대회에서 타르탈리아로 하여금 해법을 발견하게 해 주었다.
타르탈리아는 나의 간청으로 증명을 제외하고 나에게 알려줬다.
이러한 도움으로 나는 여러 가지 형태의 증명을 생각하였다.

대칭인 변환, 근과 계수와의 관계

만일 카르다노가 한 일이 전부가 페로와 타르탈리아의 발견을 발표만 한 것이라면 오늘날과 같은 존경을 받지는 못하였을 것입니다. 더군다나 그의 저서는 현대대수학의 탄생을 알리는 것으로 취급받지 못하였을 것입니다. 카르다노가 했던 것은 그것보다는 훨씬 더 놀라운 것입니다. 그의 호기심 많고 백과사전적인 마음은 이차항이 포함된 다른 형태의 삼차방정식이 있음을 알게 해 주었고 그러한 방정식에 대한 해법이 어떻게 이루어지는지에 대한 공개적인 문제를 제기하기도 하였습니다. 그는 그보다 앞서 살았던 어느 누구보다도 더욱 명료하게 다른 경우에 있어서 삼차방정식은 하나가 아니라 세 개의 해를 가진다는 사실을 알게 해 주었습니다. 따라서 하나의 공식은 다른 분석이 없이는 모든 것을 대신할 수 없다는 사실도 인식하게 해 주었습니다. 그는 모든 삼차방정식의 전체적인 모습을 크게 조망한 사람 중의 한 사람이었고, 하나의 방정식으로부터 다른 방정식으로 변형시킬 수 있는 방법을 알려주었습니다. 그는 특히 양의 해를 음의 해로 바꾸는 대칭인 변환을 만들었습니다. 삼차방정식

에 대하여 근의 합은 -a라는 근과 계수와의 관계를 알고 있었습니다. 그러나 무엇보다도 먼저 그는 페로와 타르탈리아의 공식은 음수의 제곱근-즉, 판별식이 음인 경우-을 만든다는 사실을 알았습니다. 여기에서부터 모든 근은 실수이지만 공식은 음수의 제곱근을 가지고 있다는 역설적인 상황을 발견하기도 하였습니다. 그는 이러한 상황을 궤변적인 것이라고 하였습니다. 이러한 이유로 그는 복소수를 도입할 필요가 있다는 사실을 처음으로 주장한 사람 중 한 명입니다. 

 

이러한 사실로부터 위대한 술법이 논의의 단계와 대수학의 연구를 그보다 앞서 연구했던 사람들보다 극적인 변화를 주게 하였다는 것을 명백히 알 수 있습니다. 삼차와 사차방정식의 문제가 완전히 끝나게 되자 일반적인 경우에 대한 해법을 구하려 하게 되었고, 여기에서 실제로 이해하고 보다 나은 진전을 이루기 위하여 수체계를 확장해야만 한다는 사실이 알려지게 되었습니다. 음수의 제곱근과 같은 정확하게 정의되지 않은 양을 포함하고 있는 기호로 다루었다는 사실은 그를 최초의 진정한 대수학자의 한 사람으로 간주하는 것입니다. 대수학의 역할이 모든 가능한 수체계를 만들게 하고, 그중에서 실세계에서 일어나는 것을 반영할 수 있도록 하는 것이라는 사실은 명백해지고 있습니다. ■