파스칼은 일생동안 훌륭한 작가이며 철학자이자 수학자였습니다. 그러나 종교를 우위에 두었기 때문에 벨(E. T. Bell)과 같은 역사학자는 그를 정신이상자라고 주장하면서 「수학을 만든 사람들」(Men of Mathematics)에서 다음과 같이 쓰고 있습니다.
우리는 주로 파스칼을 매우 천부적인 수학자라고 여긴다. 그런데 그는 고행을 위한 가학적 기질과 그 시대의 종교 파벌과의 논쟁에 대한 무익한 고찰로 인해 결국 소위 종교적인 노이로제 환자로 추락하고 말았다.
그리고 몇 페이지 뒤에서 벨은 다음과 같이 애도하였습니다.
만일 그의 천성이 신의 속박에서 헤어나 스스로 할 수 있는 인간이 될 수 있었다면, 인간의 곤궁과 종엄에 대한 평범한 관찰이나 의미 없는 신비주의 때문에 그의 반쪽을 질식시키는 대신, 그에게 주어진 모든 것을 발휘할 수 있었을 것이다.
파스칼이 무엇을 했길래 어떤 때는 추론의 천재로 환호를 받고, 어떤 때는 정신적으로 병들었다고 비난을 받는 것일까요?
파스칼은 18세에 세계 최초의 계산기를 만들었습니다. 몇 년 동안에 그는 50여 개의 기계를 만들어 팔았습니다. 컴퓨터 언어 PASCAL은 그에 대한 경의로 이름 붙여진 것입니다. 파스칼을 20대 초반에 대기압을 연구하였습니다. 1651년 지구 대기의 무게를 구하고 증명하는 논문을 썼습니다. 20대 후반에 파스칼은 페르마와 함께 확률 이론의 개발에 몰두하였습니다. 그는 친구이나 도박꾼인 드 메레(Chevalier de Mere)가 제안한 다음 문제를 해결하였습니다.
두 주사위를 적어도 몇 번 던져야 동시에 6이 나올까?
파스칼은 또 다음의 '점수 문제'를 해결하였습니다.
갑과 을 두 사람이 동전 던지기를 하고 있다. 앞면이 나올 때마다 갑이 1점을 얻고, 뒷면이 나올 때마다 을이 1점을 얻는다. 100점을 먼저 얻는 사람이 1000달러를 받기로 약속하였다. 갑이 100-m점, 을이 100-n점을 얻고 있다면, 갑이 이길 확률은 얼마인가?
파스칼은 또 수학적 기댓값 개념과 그가 죽은 후에 이름 붙여진 확률분포에 대한 연구를 하였습니다. 1654년 8월에 확률 연구와 연관하여 오늘날 '파스칼 삼각형'이라 불리는 논문을 썼습니다. 비록 이 패턴은 페르시아의 시인이자 수학자인 오마르 카이얌이 일찍이 1100년부터 세상에 알렸고, 인도와 고대 중국의 수학자들은 그것을 그전부터 알고 있었습니다. 하지만, 블레즈 파스칼이 1654년에 발표한 논문은 이것을 다룬 최초의 논문이었습니다. 삼각형의 첫 여섯 번째 줄까지 그리면 다음과 같습니다.
삼각형의 각 수들은 그 위 두 수의 합과 같습니다. 수학자들은 파스칼의 삼각형이 확률 이론과 이항식을 전개하는 문제, 그리고 정수론 분야에서 어떤 의미를 갖는가를 높고 오랫동안 논쟁을 해왔습니다. 수학자인 도널드 커누스는 한때 파스칼의 삼각형에는 너무나 많은 관계와 유형들이 있어서 누군가가 새로운 성질을 발견한다고 해도 당사자를 빼면 그 발견에 대해서 그리 흥분하는 사람들이 많지 않을 거라고 말합니다. 하지만 대각선 방향으로 배열된 숫자들 사이에서 특수한 패턴들이 발견되었고, 다양한 육각형의 성질을 가진 완벽한 정사각형 패턴의 존재가 확인되었습니다. 그리고 파스칼의 삼각형을 음수로, 그리고 더 높은 차원으로 확장하는 등의 연구가 이루어지고 있습니다.
파스칼의 삼각형에서 짝수 자리와 홀수 자리에 서로 다른 색을 칠하면 부분이 전체를 닮은 프랙털 패턴이 나타납니다. 이 프랙털 모양들은 재료 과학자들이 혁신적인 성질을 가진 새로운 구조물들을 만들어 내는 데 도움이 되는 모형으로 활용됩니다.
프렉털 구조를 보여주는 파스칼의 삼각형
신을 믿는 것이 보다 현명하다는 수학적 증명, '파스칼의 내기'
1654년 11월 23일 파스칼의 마차가 센 강에 빠지 날 밤, 파스칼은 종교적인 체험을 하게 됩니다. 그 사건 이후 파스칼은 '종파 논쟁'이 아니라 인간의 자유 의지로 선을 택하도록 하나님이 돕는 방법에 관한 오래된 논쟁에 빠지게 도비니다. 이러한 종교적 발상은 바로 오늘날까지 여러 신학자와 철학자들에게 칭송을 받는 「시골 사람에게 보내는 편지」(Provincial Letters)라는 문학작품으로 탄생합니다.
1658년 파스칼은 종교 철학을 중단하고 사이클로이드에 대한 논문을 씁니다. 이는 수레바퀴가 지면 위를 굴러갈 때, 수레바퀴 둘레의 한 점이 그리는 곡선에 대한 논문입니다. 이 논문에서 파스칼이 사용한 방법은 미적분과 유사합니다. 또한, 1658년에 수학적 추론에 관하여 명료한 글을 썼습니다. 이 글에서 그는 정의의 본질, 수의 본질, 무한의 개념을 논의하였습니다.
파스칼의 마지막이자 미완성 작품이 「팡세」인데, 이는 기독교 신앙의 진리에 대한 그의 옹호가 담겨있습니다. 이 작품에서 신을 믿는 것이 보다 현명하다는 수학적 증명인 '파스칼의 내기'를 발견하게 되는데 다음과 같습니다.
영이 아닌 수 ε(매우 작은 수)이 있어 이것이 신이 존재할 확률을 나타낸다고 하자. 만일 신이 존재하지 않는데 당신이 어쨌든 신을 믿는다면, 비록 당신이 속는다 하더라도 당신이 잃는 것은 많지 않을 것이다. 이때 1단위(utile)의 행복을 초과하지는 않는다고 하자. 그러나 신이 존재하고 당신이 신을 믿는다면, 신은 당신을 매우 행복하게 해 줄 것이고 적어도 2/ε단위의 행복을 주게 될 것이다. 그러므로 신을 믿는 것의 수학적 기댓값은 적어도 다음과 같다. 한편, 신이 존재하지 않고 당신도 신을 믿지 않는다면, 당신은 그대로 1단위에 남짓하는 행복을 얻을 수 있을 것이다. 그러나 신이 존재하는데 당신이 신을 믿지 않는다면, 당신은 어떠한 선도 얻을 수 없게 될 것이다. 따라서 신을 믿지 않는 것의 수학적 기댓값은 다음보다 작다. 따라서, 현명한 사람이라면 신을 믿기로 선택할 것이다. ■
