게임과 수학 1탄

TTT(Tic-Tac-Toe)게임

틱택토(Tic-Tac-Toe, TTT) 게임은 인류 역사상 가장 널리 알려지고 가장 오래된 게임입니다. 이 게임이 현대와 같은 규칙을 갖게 된 시기는 비교적 최근이지만, 고고학자들은 기원전 1300년경의 고대 이집트로 거슬러 올라가 '3개로 1줄 만들기 게임' 비슷한 것을 그 기원으로 제시합니다. 비슷한 종류의 게임들이 이미 인류 문명 여명기부터 존재하지 않았을까요? 틱택토 게임은 3x3판에서 하는 틱택토 게임은 언제든지 무승부로 끝날 가능성 있습니다. 무조건 무승부를 말들 수 있다는 점은 플롯상의 주요 요소로 활용되어 1983년 영화 워게임에 등장합니다. 그 유명한 "이기는 유일한 방법은 처음부터 하지 않는 것이다."라는 대사가 이 영화에서 비롯되었습니다. 또한 컴퓨터로 구현한 것이 세계 최초의 비디오 게임으로 만들어졌다. 

 

위대한 파라오들이 통치하던 고대 이집트 전성기에 보드 게임은 일상생활에서 중요한 역할을 했으며, 틱택토 같은 놀이는 이 시대에서 유래했습니다. 틱택토는 보드 게임의 '원자'라고 볼 수 있습니다. 그 후 수 세기 동안 이 원자들이 결합되어 한 층 발전된 게임의 '분자'들을 구축했다고 볼 수 있지 않을까요?

 

틱택토의 몇 가지 궁금한 점들은 생각해 봅시다. 틱택토 판 위에 O표와 X표를 늘어놓을 수 있는 총가짓수는 9!=362,880이다. 5, 6, 7, 8, 9로만 끝나는 모든 게임의 가능한 배치를 생각해 보면, 틱택토에서 가능한 게임의 가짓수가 255,168이나 됩니다. 1980년대 초반에, 컴퓨터 천재인 대니 힐리스와 브라이언 실버먼은 친구들과 힘을 합쳐 집짓기 장난감의 일종인 팅커토이 블론 1만 개를 사용해 틱택토를 할 수 있는 컴퓨터인 '팅커토이'를 만들었습니다.

 

바둑

바둑은 두 사람이 하는 보드 게임으로 기원전 2000년경 중국에서 유래되었습니다. 바둑과 관련된 최고 문헌 기록은 중국 역사서에서 찾아볼 수 있는데, 여기에는 기원전 548년에 어떤 남자가 바둑을 두었다는 이야기가 나옵니다. 바둑의 목표는 상대보다 더 많은 공간을 자신의 돌로 둘러싸는 것입니다. 규칙은 단순하지만 매우 깊은 전략적 사고가 요구됩니다. 

 

바둑은 여러 가지로 복잡한 게임인데, 게임판이 크고 전략이 다양하며 가능한 게임의 가짓수가 막대하기 때문입니다. 단순히 지금 바둑판 위에 내 돌이 상대방 돌보다 많다고 해서 반드시 이긴다는 보장도 없습니다. 대칭성을 감안하면, 첫 수를 두는 방법에는 32,940가지가 있는데, 그중 992가지는 강력한 수로 간주됩니다. 바둑을 두는 컴퓨터들은 '앞을 내다보고' 결과를 판단하는 작업에 어려움을 겪습니다. 왜냐하면 바둑은 체스에 비해 합리적이라고 간주해야 하는 수가 훨씬 더 많기 때문입니다. 어떤 한 수가 최선인가 아닌가를 판단하는 과정 또한 무척 어려운데, 바둑판 그리드의 어떤 한 점을 차지하는 것이 커다란 무리의 돌들에게 영향을 미칠 수 있기 때문입니다.

 

 

아시코시안 게임

아일랜드 수학자이자 물리학자이며 천문학자인 윌리엄 해밀턴이 1857년에 아이코시안 이라는게임을 설명했는데, 이 게임의 목표는 십이면체의 변들을 따라가면서 모든 꼭짓점을 한 번만 지나가는 경로를 찾는 것입니다. 오늘날 그래프 이론 분야에서는 각 그래프 꼭짓점을 정확히 한 번만 지나는 경로를 가리켜 해밀턴 경로(Hamilronian path)이라고 합니다. '아시코시안'이라는 용어는 해밀턴이 이십면체의 대칭 성질들에 기반한, 아이코시안 미적분이라는 일종의 대수학을 발명하면서 생겼습니다. 해밀턴은 이 대수학과 그 연관된 아이코시안을 사용해 이 문제를 풀었습니다. 플라톤 입체는 모두 해밀턴 순환이 가능한 입체입니다. 1974년에 수학자인 프랭크 루빈(Frank Rubin)은 그래프 이론으로 해밀턴 경로와 해밀턴 순환을 일부나 전부 찾아낼 수 있는 효율적인 탐색 절차들을 도입했습니다.

 

정십이면체

 

런던의 한 장남감 제조업자가 아이코시안 게임의 판권을 사들여 십이면체의 모든 꼭짓점에 못을 있는 퍼즐을 만들었습니다. 각 못은 주요 도시를 나타내고 게임을 하는 사람은 여행을 하면서 각 못에 줄을 감아서 지나간 경로를 표시합니다. 이 퍼즐은 잘 팔리지 않았는데 이유는 게임이 너무 풀기 쉬워서라고 합니다. 당시 판매되었던 퍼즐의 사진은 아래 사이트에서 확인할 수 있습니다. ■

https://www.puzzlemuseum.com/month/picm02/200207icosian.htm

Sir William Hamilton's Icosian Game and Traveller's Dodecahedron Puzzle.